Lý luận đại số (với các bài tập đã giải quyết)
Lý luận đại số về cơ bản bao gồm việc truyền đạt một đối số toán học thông qua một ngôn ngữ đặc biệt, làm cho nó chặt chẽ và tổng quát hơn, sử dụng các biến đại số và các hoạt động được xác định giữa chúng. Một đặc điểm của toán học là sự chặt chẽ logic và khuynh hướng trừu tượng được sử dụng trong các lập luận của nó.
Đối với điều này, cần phải biết "ngữ pháp" chính xác nên được sử dụng trong văn bản này. Ngoài ra, lý luận đại số tránh sự mơ hồ trong việc biện minh cho một lập luận toán học, điều cần thiết để chứng minh bất kỳ kết quả nào trong toán học.
Biến đại số
Một biến đại số chỉ đơn giản là một biến (một chữ cái hoặc ký hiệu) đại diện cho một đối tượng toán học nhất định.
Ví dụ, các chữ cái x, y, z thường được sử dụng để biểu diễn các số thỏa mãn một phương trình đã cho; các chữ cái p, qr, để biểu thị các công thức mệnh đề (hoặc chữ in hoa tương ứng của chúng để thể hiện các mệnh đề cụ thể); và các chữ cái A, B, X, v.v., để thể hiện các bộ.
Thuật ngữ "biến" nhấn mạnh rằng đối tượng trong câu hỏi không cố định, nhưng khác nhau. Đó là trường hợp của một phương trình, trong đó các biến được sử dụng để xác định các giải pháp mà về nguyên tắc là không xác định.
Nói chung, một biến đại số có thể được coi là một chữ cái đại diện cho một số đối tượng, cho dù nó có cố định hay không.
Giống như các biến đại số được sử dụng để biểu diễn các đối tượng toán học, chúng ta cũng có thể xem xét các ký hiệu để biểu diễn các phép toán.
Ví dụ: biểu tượng "+" đại diện cho hoạt động "tổng". Các ví dụ khác là các ký hiệu tượng trưng khác nhau của liên kết logic trong trường hợp các mệnh đề và tập hợp.
Biểu thức đại số
Biểu thức đại số là sự kết hợp của các biến đại số bằng các hoạt động được xác định trước đó. Ví dụ về điều này là các hoạt động cơ bản của phép cộng, phép trừ, phép nhân và phép chia giữa các số hoặc liên kết logic trong các mệnh đề và tập hợp.
Lý luận đại số có trách nhiệm diễn đạt một lý luận hoặc lập luận toán học bằng các biểu thức đại số.
Hình thức biểu đạt này giúp đơn giản hóa và viết tắt chữ viết, vì nó sử dụng các ký hiệu tượng trưng và cho phép chúng ta hiểu rõ hơn lý luận, trình bày nó một cách rõ ràng và chính xác hơn.
Ví dụ
Chúng ta hãy xem một số ví dụ cho thấy cách sử dụng lý luận đại số. Rất thường xuyên, nó được sử dụng để giải quyết các vấn đề logic và lý luận, như chúng ta sẽ thấy sớm.
Hãy xem xét các đề xuất toán học nổi tiếng "tổng của hai số là giao hoán". Chúng ta hãy xem làm thế nào chúng ta có thể biểu thị mệnh đề này theo đại số: cho hai số "a" và "b", mệnh đề này có nghĩa là a + b = b + a.
Lý luận được sử dụng để giải thích các mệnh đề ban đầu và diễn đạt nó theo thuật ngữ đại số là một lý luận đại số.
Chúng ta cũng có thể đề cập đến biểu thức nổi tiếng "thứ tự của các yếu tố không làm thay đổi sản phẩm", trong đó đề cập đến thực tế là sản phẩm của hai số cũng có tính giao hoán và được biểu thị bằng đại số là axb = bxa.
Tương tự, các thuộc tính kết hợp và phân phối cho tổng và sản phẩm có thể được biểu thị (và trên thực tế được thể hiện) theo đại số, trong đó bao gồm phép trừ và phép chia.
Kiểu lý luận này bao gồm một ngôn ngữ rất rộng và được sử dụng trong nhiều bối cảnh khác nhau. Tùy thuộc vào từng trường hợp, trong các bối cảnh này, chúng ta phải nhận ra các mẫu, diễn giải các câu lệnh và khái quát hóa và chính thức hóa biểu thức của chúng theo thuật ngữ đại số, cung cấp một lý luận hợp lệ và tuần tự.
Bài tập đã giải quyết
Sau đây là một số vấn đề logic, chúng tôi sẽ giải quyết bằng cách sử dụng lý luận đại số:
Bài tập đầu tiên
Con số mà bằng cách loại bỏ một nửa, bằng một?
Giải pháp
Để giải quyết loại bài tập này, rất hữu ích để biểu diễn giá trị mà chúng ta muốn xác định bằng phương tiện của một biến. Trong trường hợp này, chúng tôi muốn tìm một số bằng cách loại bỏ một nửa, kết quả là số một. Suy ra bởi x số lượng tìm kiếm.
"Để loại bỏ một nửa" cho một số hàm ý chia nó cho 2. Vì vậy, ở trên có thể được biểu diễn đại số là x / 2 = 1, và vấn đề được giảm xuống để giải một phương trình, trong trường hợp này là tuyến tính và rất đơn giản để giải. Xóa x chúng ta thu được rằng giải pháp là x = 2.
Tóm lại, 2 là số mà khi loại bỏ một nửa bằng 1.
Bài tập thứ hai
Mất bao nhiêu phút vào nửa đêm nếu 10 phút bị mất 5/3 so với những gì còn thiếu bây giờ?
Giải pháp
Biểu thị bằng "z" số phút còn lại trước nửa đêm (có thể sử dụng bất kỳ chữ cái nào khác). Điều đó có nghĩa là chỉ mất vài phút "z" cho nửa đêm. Điều này ngụ ý rằng 10 phút bị thiếu "z + 10" phút cho nửa đêm và điều này tương ứng với 5/3 của những gì còn thiếu hiện nay; đó là, (5/3) z.
Sau đó, bài toán giảm để giải phương trình z + 10 = (5/3) z. Nhân cả hai vế của đẳng thức với 3, phương trình 3z + 30 = 5z thu được.
Bây giờ, bằng cách nhóm biến "z" ở một phía của đẳng thức, chúng ta thu được 2z = 15, hàm ý rằng z = 15.
Do đó, 15 phút còn lại đến nửa đêm.
Bài tập thứ ba
Trong một bộ lạc thực hành trao đổi, có những tương đương:
- Một ngọn giáo và vòng cổ được đổi lấy một tấm khiên.
- Một ngọn giáo tương đương với một con dao và vòng cổ.
- Hai tấm khiên được đổi lấy ba đơn vị dao.
Có bao nhiêu vòng cổ là một ngọn giáo tương đương?
Giải pháp
Sean:
Co = vòng cổ
L = một ngọn giáo
E = khiên
Cu = một con dao
Sau đó, chúng tôi có các mối quan hệ sau:
Co + L = E
L = Co + Cu
2E = 3u
Vì vậy, vấn đề được giảm xuống để giải quyết một hệ phương trình. Mặc dù có nhiều ẩn số hơn phương trình, hệ thống này có thể được giải quyết, vì chúng không yêu cầu chúng tôi cho một giải pháp cụ thể mà là một trong các biến phụ thuộc vào một biến khác. Những gì chúng ta phải làm là thể hiện "Co" trong chức năng của "L".
Từ phương trình thứ hai ta có Cu = L - Co. Thay vào phương trình thứ ba ta thu được E = (3L - 3Co) / 2. Cuối cùng, thay thế phương trình đầu tiên và đơn giản hóa nó, chúng ta có được 5Co = L; đó là một ngọn giáo bằng năm vòng cổ.
