Nguyên tắc nhân: Kỹ thuật đếm và ví dụ
Nguyên lý nhân là một kỹ thuật được sử dụng để giải các bài toán đếm để tìm giải pháp mà không cần phải liệt kê các phần tử của nó. Nó cũng được gọi là nguyên tắc cơ bản của phân tích tổ hợp; nó dựa trên phép nhân liên tiếp để xác định cách thức xảy ra sự kiện.
Nguyên tắc này nói rằng, nếu một quyết định (d 1 ) có thể được thực hiện theo n cách và một quyết định khác (d 2 ) có thể được thực hiện theo cách m, thì tổng số cách mà các quyết định có thể được đưa ra d 1 và d 2 sẽ bằng nhau nhân lên từ n * m. Theo nguyên tắc, mỗi quyết định được thực hiện lần lượt: số cách = N 1 * N 2 ... * N x cách.
Ví dụ
Ví dụ 1
Paula dự định đi xem phim với bạn bè và để chọn trang phục cô ấy sẽ mặc, tôi tách 3 áo và 2 váy. Paula có thể ăn mặc bao nhiêu cách?
Giải pháp
Trong trường hợp này, Paula phải đưa ra hai quyết định:
d 1 = Chọn giữa 3 áo = n
d 2 = Chọn giữa 2 váy = m
Bằng cách đó Paula có quyết định n * m để thực hiện hoặc các cách ăn mặc khác nhau.
n * m = 3 * 2 = 6 quyết định.
Nguyên lý nhân xuất phát từ kỹ thuật của sơ đồ cây, là sơ đồ liên quan đến tất cả các kết quả có thể xảy ra, do đó mỗi lần có thể xảy ra một số lần hữu hạn.
Ví dụ 2
Mario rất khát nước, vì vậy anh đã đến tiệm bánh để mua nước trái cây. Luis trả lời anh ta và nói với anh ta rằng anh ta có hai kích cỡ: lớn và nhỏ; và bốn hương vị: táo, cam, chanh và nho. Có bao nhiêu cách Mario có thể chọn nước trái cây?
Giải pháp
Trong sơ đồ có thể thấy rằng Mario có 8 cách khác nhau để chọn nước trái cây và theo nguyên tắc nhân, kết quả này thu được bằng cách nhân n * m. Sự khác biệt duy nhất là thông qua sơ đồ này, bạn có thể biết được cách Mario chọn nước ép.
Mặt khác, khi số lượng kết quả có thể là rất lớn, sẽ thực tế hơn khi sử dụng nguyên tắc nhân.
Kỹ thuật đếm
Kỹ thuật đếm là phương pháp được sử dụng để tạo số đếm trực tiếp và do đó biết số lượng sắp xếp có thể có mà các phần tử của một tập hợp nhất định có thể có. Những kỹ thuật này dựa trên một số nguyên tắc:
Nguyên tắc bổ sung
Nguyên tắc này nói rằng, nếu hai sự kiện m và n không thể xảy ra cùng một lúc, số cách xảy ra sự kiện thứ nhất hoặc thứ hai sẽ là tổng của m + n:
Số lượng biểu mẫu = m + n ... + x các hình thức khác nhau.
Ví dụ
Antonio muốn có một chuyến đi nhưng không quyết định điểm đến nào; tại Cơ quan Du lịch miền Nam, họ cung cấp cho bạn một chương trình khuyến mãi để đi du lịch đến New York hoặc Las Vegas, trong khi Cơ quan Du lịch Đông khuyên bạn nên đi du lịch đến Pháp, Ý hoặc Tây Ban Nha. Có bao nhiêu lựa chọn thay thế du lịch khác nhau mà Antonio cung cấp cho bạn?
Giải pháp
Với Cơ quan Du lịch miền Nam, Antonio có 2 lựa chọn thay thế (New York hoặc Las Vegas), trong khi với Cơ quan Du lịch Đông có 3 lựa chọn (Pháp, Ý hoặc Tây Ban Nha). Số lượng các lựa chọn thay thế khác nhau là:
Số phương án = m + n = 2 + 3 = 5 phương án.
Nguyên lý hoán vị
Đó là về việc đặt hàng cụ thể tất cả hoặc một số yếu tố tạo nên một bộ, để tạo điều kiện cho việc đếm tất cả các sắp xếp có thể có thể được thực hiện với các yếu tố.
Số lượng hoán vị của n phần tử khác nhau, được thực hiện cùng một lúc, được biểu diễn dưới dạng:
n P n = n!
Ví dụ
Bốn người bạn muốn chụp ảnh và muốn biết có bao nhiêu hình thức khác nhau có thể được đặt hàng.
Giải pháp
Bạn muốn biết tập hợp tất cả các cách có thể trong đó 4 người có thể được đặt để chụp ảnh. Vì vậy, bạn phải:
4 P 4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 hình thức khác nhau.
Nếu số lượng hoán vị của n phần tử khả dụng được lấy bởi các phần của tập hợp được tạo bởi các phần tử r, thì nó được biểu diễn dưới dạng:
n P r = n! ÷ (n - r)!
Ví dụ
Trong một phòng học có 10 vị trí. Nếu 4 học sinh tham gia lớp học, học sinh có thể chiếm bao nhiêu vị trí khác nhau?
Giải pháp
Tổng số bộ ghế là 10, và chỉ có 4 chiếc này sẽ được sử dụng. Công thức đã cho được áp dụng để xác định số lượng hoán vị:
n P r = n! ÷ (n - r)!
10 P 4 = 10! (10 - 4)!
10 P 4 = 10! ÷ 6!
10 P 4 = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040 cách để điền vào các vị trí.
Có những trường hợp trong đó một số phần tử có sẵn của một tập hợp được lặp lại (chúng giống nhau). Để tính số lượng sắp xếp lấy tất cả các phần tử cùng một lúc, công thức sau đây được sử dụng:
n P r = n! 1 n 1 ! * n 2 ! ... n r !
Ví dụ
Có bao nhiêu từ khác nhau của bốn chữ cái có thể được hình thành từ từ "sói"?
Giải pháp
Trong trường hợp này, chúng ta có 4 phần tử (chữ cái) trong đó hai phần tử giống hệt nhau. Áp dụng công thức đã cho, chúng ta biết có bao nhiêu từ khác nhau:
n P r = n! 1 n 1 ! * n 2 ! ... n r !
4 P 2, 1, 1 = 4! ÷ 2! * 1! * 1!
4 P 2, 1, 1 = (4 * 3 * 2 * 1) (2 * 1) * 1 * 1
4 P 2, 1, 1 = 24 2 = 12 từ khác nhau.
Nguyên tắc kết hợp
Đó là về việc sửa tất cả hoặc một số thành phần tạo thành một bộ mà không có thứ tự cụ thể. Ví dụ: nếu bạn có một mảng XYZ, nó sẽ giống hệt với các mảng ZXY, YZX, ZYX, trong số các mảng khác; Điều này là do, mặc dù không theo cùng một thứ tự, các yếu tố của mỗi sắp xếp là như nhau.
Khi một số phần tử (r) của tập hợp (n) được thực hiện, nguyên tắc kết hợp được đưa ra theo công thức sau:
n C r = n! ÷ (n - r)! R!
Ví dụ
Trong một cửa hàng họ bán 5 loại sô cô la khác nhau. Có bao nhiêu cách khác nhau bạn có thể chọn 4 sôcôla?
Giải pháp
Trong trường hợp này, bạn phải chọn 4 sôcôla trong số 5 loại được bán trong cửa hàng. Thứ tự mà chúng được chọn không quan trọng và, ngoài ra, một loại sô cô la có thể được chọn nhiều hơn hai lần. Áp dụng công thức, bạn phải:
n C r = n! ÷ (n - r)! R!
5 C 4 = 5! (5 - 4)! 4!
5 C 4 = 5! ÷ (1)! 4!
5 C 4 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 4 * 3 * 2 * 1
5 C 4 = 120 24 = 5 cách khác nhau để chọn 4 sôcôla.
Khi tất cả các phần tử (r) của tập hợp (n) được thực hiện, nguyên tắc kết hợp được đưa ra theo công thức sau:
n C n = n!
Bài tập đã giải quyết
Bài tập 1
Bạn có một đội bóng chày với 14 thành viên. Có bao nhiêu cách để 5 vị trí có thể được chỉ định cho một trò chơi?
Giải pháp
Bộ này bao gồm 14 yếu tố và bạn muốn chỉ định 5 vị trí cụ thể; đó là, thứ tự đó có vấn đề Công thức hoán vị được áp dụng trong đó n phần tử khả dụng được lấy bởi các phần của tập hợp được tạo bởi r.
n P r = n! ÷ (n - r)!
Trong đó n = 14 và r = 5. Nó được thay thế trong công thức:
14 P 5 = 14! (14 - 5)!
14 P 5 = 14! ÷ (9)!
14 P 5 = 240 240 cách gán 9 vị trí của trò chơi.
Bài tập 2
Nếu một gia đình 9 thành viên đi du lịch và mua vé của họ với các ghế liên tiếp, họ có thể ngồi bao nhiêu cách khác nhau?
Giải pháp
Nó bao gồm 9 yếu tố sẽ chiếm 9 chỗ liên tiếp.
P 9 = 9!
P 9 = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880 cách ngồi khác nhau.
