Định lý Varignon: Ví dụ và bài tập đã giải

Định lý của Varignon nói rằng nếu trong bất kỳ tứ giác nào, các trung điểm của các cạnh được nối liên tục, một hình bình hành được tạo ra. Định lý này được Pierre Varignon xây dựng và xuất bản năm 1731 trong cuốn sách Các yếu tố toán học . "

Việc xuất bản cuốn sách xảy ra nhiều năm sau khi ông qua đời. Vì Varignon là người trình bày định lý này, hình bình hành được đặt theo tên ông. Định lý này dựa trên hình học Euclide và trình bày mối quan hệ hình học của tứ giác.

Định lý Varignon là gì?

Varignon tuyên bố rằng một hình được xác định bởi các trung điểm của một hình tứ giác sẽ luôn dẫn đến hình bình hành và diện tích của hình này sẽ luôn bằng một nửa diện tích của hình tứ giác nếu nó phẳng và lồi. Ví dụ:

Trong hình, chúng ta có thể thấy một hình tứ giác có diện tích X, trong đó trung điểm của các cạnh được biểu thị bằng E, F, G và H và khi chúng được nối, tạo thành một hình bình hành. Diện tích của tứ giác sẽ là tổng diện tích của các hình tam giác được hình thành, và một nửa số này tương ứng với diện tích của hình bình hành.

Vì diện tích của hình bình hành bằng một nửa diện tích của hình tứ giác, nên chu vi của hình bình hành đó có thể được xác định.

Do đó, chu vi bằng tổng độ dài các đường chéo của tứ giác; điều này là do các trung tuyến của tứ giác sẽ là các đường chéo của hình bình hành.

Mặt khác, nếu độ dài các đường chéo của tứ giác hoàn toàn giống nhau, hình bình hành sẽ là một hình thoi. Ví dụ:

Từ hình vẽ có thể thấy rằng, bằng cách nối các trung điểm của các cạnh của tứ giác, thu được một hình thoi. Mặt khác, nếu các đường chéo của tứ giác vuông góc thì hình bình hành sẽ là một hình chữ nhật.

Ngoài ra hình bình hành sẽ là một hình vuông khi tứ giác có các đường chéo có cùng độ dài và cũng vuông góc.

Định lý không chỉ được thực hiện trong các tứ giác phẳng, nó còn được thực hiện trong hình học không gian hoặc trong các kích thước lớn; nghĩa là trong các tứ giác đó không lồi. Một ví dụ về điều này có thể là một khối bát diện, trong đó các điểm giữa là tâm của mỗi mặt và tạo thành một hình song song.

Theo cách này, bằng cách nối các trung điểm của các hình khác nhau, có thể thu được hình bình hành. Một cách đơn giản để xác minh nếu điều này thực sự đúng là các mặt đối diện phải song song khi chúng bị kéo dài.

Ví dụ

Ví dụ đầu tiên

Kéo dài các cạnh đối diện để chỉ ra rằng đó là hình bình hành:

Ví dụ thứ hai

Bằng cách nối các điểm giữa của một viên kim cương, chúng ta có được một hình chữ nhật:

Định lý được sử dụng trong liên kết các điểm nằm ở giữa các cạnh của một hình tứ giác, và cũng có thể được sử dụng cho các loại điểm khác, chẳng hạn như trong một phần ba, phần penta hoặc thậm chí là một số lượng vô hạn của các phần ( nth), để chia các cạnh của bất kỳ tứ giác nào thành các đoạn tỷ lệ thuận.

Bài tập đã giải quyết

Bài tập 1

Chúng ta có trong hình tứ giác ABCD của khu vực Z, trong đó trung điểm của các cạnh của nó là PQSR. Kiểm tra xem hình bình hành của Varignon có được hình thành không.

Giải pháp

Có thể xác minh rằng khi tham gia PQSR, một hình bình hành của Varignon được hình thành, chính xác bởi vì trong tuyên bố, trung điểm của một hình tứ giác được đưa ra.

Để chứng minh điều này, các trung điểm PQSR được hợp nhất, do đó có thể thấy rằng một hình tứ giác khác được hình thành. Để chỉ ra rằng đó là hình bình hành, chúng ta chỉ phải vẽ một đường thẳng từ điểm C đến điểm A, vì vậy chúng ta có thể thấy CA song song với PQ và RS.

Tương tự, bằng cách mở rộng các cạnh PQRS, có thể lưu ý rằng PQ và RS song song, như thể hiện trong hình ảnh sau:

Bài tập 2

Nó có một hình chữ nhật sao cho độ dài của tất cả các cạnh của nó bằng nhau. Khi nối các trung điểm của các cạnh này, một hình thoi ABCD được hình thành, được chia cho hai đường chéo AC = 7cm và BD = 10cm, trùng khớp với các số đo của các cạnh của hình chữ nhật. Xác định diện tích hình thoi và hình chữ nhật.

Giải pháp

Hãy nhớ rằng diện tích của hình bình hành kết quả là một nửa của hình tứ giác, bạn có thể xác định diện tích của những hình này biết rằng số đo của các đường chéo trùng với các cạnh của hình chữ nhật. Vì vậy, bạn phải:

AB = D

CD = d

Một _{hình chữ nhật} = (AB _* CD) = (10 cm _* 7 cm) = 70 cm2

Một _{viên kim cương} = Một _{hình chữ nhật} / 2

Một _{hình thoi} = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

Bài tập 3

Trong hình ta có một hình tứ giác có liên kết các điểm EFGH, độ dài của các đoạn được đưa ra. Xác định xem ràng buộc của EFGH là hình bình hành.

AB = 2, 4 CG = 3.06

EB = 1, 75 GD = 2, 24

BF = 2, 88 DH = 2, 02

FC = 3, 94 HA = 2, 77

Giải pháp

Với độ dài của các phân khúc, có thể xác minh nếu có sự cân xứng giữa các phân khúc; đó là, chúng ta có thể biết nếu chúng là song song, liên quan đến các phân đoạn của tứ giác theo cách sau:

- AE / EB = 2, 4 / 1, 75 = 1, 37

- AH / HD = 2, 77 / 2, 02 = 1, 37

- CF / FB = 3, 94 / 2, 88 = 1, 37

- CG / GD = 3.06 / 2.24 = 1.37

Sau đó, tỷ lệ được kiểm tra, kể từ:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Tương tự, khi vẽ một đường thẳng từ điểm B đến điểm D, chúng ta có thể thấy EH song song với BD, giống như BD song song với FG. Mặt khác, EF song song với GH.

Theo cách này, có thể xác định rằng EFGH là hình bình hành, bởi vì các cạnh đối diện là song song.