Định lý Moivre: Những gì nó bao gồm, trình diễn và bài tập

Định lý Moivre áp dụng các quá trình cơ bản của đại số, chẳng hạn như quyền hạn và trích xuất rễ với số lượng phức tạp. Định lý này được nhà toán học nổi tiếng người Pháp tên là Abraham de Moivre (1730), người đã liên kết các số phức với lượng giác.

Abraham Moivre đã thực hiện sự liên kết này thông qua các biểu hiện của vú và cosin. Nhà toán học này đã tạo ra một loại công thức thông qua đó có thể tăng một số phức za công suất n, đó là một số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 1.

Định lý Moivre là gì?

Định lý Moivre nêu sau:

Nếu chúng ta có một số phức ở dạng cực z = r, trong đó r là mô đun của số phức z và góc Ɵ được gọi là biên độ hoặc đối số của bất kỳ số phức nào có 0 ≤ Ɵ 2π, để tính n- Sức mạnh này sẽ không cần thiết để nhân nó với n lần; nghĩa là không cần thiết phải tạo ra sản phẩm sau:

Zn = z _* z _* z _*. _. _{. *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *.} _. _{. *} r-n-lần.

Ngược lại, định lý nói rằng khi viết z dưới dạng lượng giác của nó, để tính công suất thứ n, chúng ta tiến hành như sau:

Nếu z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) thì zn = rn (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Ví dụ: nếu n = 2, thì z2 = r2 [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. Nếu bạn có n = 3, thì z3 = z2 _* z. Ngoài ra:

z3 = r2 [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r3 [cos 3 (Ɵ) + i sin 3 ()].

Theo cách này, các tỷ lệ lượng giác của sin và cos có thể thu được cho bội số của một góc, miễn là tỷ lệ lượng giác của góc được biết.

Theo cách tương tự, nó có thể được sử dụng để tìm các biểu thức chính xác hơn và ít gây nhầm lẫn hơn cho gốc thứ n của một số phức z, sao cho zn = 1.

Để chứng minh định lý Moivre, nguyên tắc cảm ứng toán học được sử dụng: nếu một số nguyên "a" có thuộc tính "P" và nếu với bất kỳ số nguyên nào "n" lớn hơn "a" với tính chất "P" thì đó là thỏa mãn rằng n + 1 cũng có thuộc tính "P", vì vậy tất cả các số nguyên lớn hơn hoặc bằng "a" có thuộc tính "P".

Trình diễn

Theo cách này, việc chứng minh định lý được thực hiện với các bước sau:

Cơ sở quy nạp

Đầu tiên kiểm tra n = 1.

Vì z1 = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) 1 = r1 (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) 1 = r1 [cos (1 _* Ɵ) + i _* sin (1 _* Ɵ)], chúng tôi có rằng với n = 1 định lý được hoàn thành.

Giả thuyết quy nạp

Giả định rằng công thức này đúng với một số nguyên dương, nghĩa là, n = k.

zk = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) k = rk (cos k Ɵ + i _* sin k).

Kiểm tra

Nó được chứng minh là đúng với n = k + 1.

Vì zk + 1 = zk _* z, nên zk + 1 = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) k + 1 = rk (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* sinƟ) .

Sau đó, các biểu thức nhân lên:

zk + 1 = rk + 1 ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* sinƟ )).

Trong một lúc, yếu tố rk + 1 bị bỏ qua và yếu tố chung i được trích xuất:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i2 (sin kƟ) _* (sinƟ).

Khi i2 = -1, chúng tôi thay thế nó trong biểu thức và chúng tôi nhận được:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Bây giờ phần thực và phần ảo được sắp xếp:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i [(sin kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (sinƟ)].

Để đơn giản hóa biểu thức, các định danh lượng giác của tổng các góc cho cosin và sin được áp dụng, đó là:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B

Trong trường hợp này, các biến là các góc Ɵ và kƟ. Áp dụng các định danh lượng giác, chúng ta có:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = sin (kƟ +)

Theo cách này, biểu thức vẫn còn:

zk + 1 = rk + 1 (cos (kƟ +)) + i _* sin (kƟ +)))

zk + 1 = rk + 1 (cos [(k +1) Ɵ] + i _* sin [(k +1) Ɵ]).

Do đó, có thể chỉ ra rằng kết quả là đúng với n = k + 1. Theo nguyên tắc cảm ứng toán học, kết luận là kết quả đúng với tất cả các số nguyên dương; nghĩa là, n 1.

Số nguyên âm

Định lý Moivre cũng được áp dụng khi n ≤ 0. Xét một số nguyên âm «n»; thì "n" có thể được viết là "-m", nghĩa là n = -m, trong đó "m" là một số nguyên dương. Do đó:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) -m

Để có được số mũ «m» một cách tích cực, biểu thức được viết ngược lại:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = 1 (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = 1 (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Bây giờ, người ta sử dụng nếu z = a + b * i là số phức thì 1 z = ab * i. Do đó:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

Sử dụng cos (x) = cos (-x) và -sen (x) = sin (-x), chúng ta phải:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = [cos (mƟ) - i _* sin (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) n = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

Theo cách đó, có thể nói rằng định lý áp dụng cho tất cả các giá trị nguyên của "n".

Bài tập đã giải quyết

Tính toán sức mạnh tích cực

Một trong những phép toán với số phức ở dạng cực của nó là phép nhân giữa hai số này; trong trường hợp đó, các mô-đun được nhân lên và các đối số được thêm vào.

Nếu bạn có hai số phức z _{1 và} z ₂ và bạn muốn tính (z ₁ * z ₂ ) 2, thì hãy tiến hành như sau:

z ₁ z ₂ = [r ₁ (cos Ɵ ₁ + i _* sin Ɵ ₁ )] * [r ₂ (cos ₂ + i _* sin Ɵ ₂ )]

Các tài sản phân phối được áp dụng:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i2 _* sin Ɵ _{1 *} sin ₂ ) .

Chúng được nhóm lại, lấy thuật ngữ "i" làm yếu tố phổ biến của biểu thức:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i (cos Ɵ _{1 *} sin ₂ + sin _{1 *} cos Ɵ ₂ ) + i2 _* sin Ɵ _{1 *} sin ₂ ]

Vì i2 = -1, nó được thay thế trong biểu thức:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i (cos Ɵ _{1 *} sin ₂ + sin _{1 *} cos Ɵ ₂ ) - sin _{1 *} sin ₂ ]

Các thuật ngữ thực được kết hợp lại với thực và tưởng tượng với tưởng tượng:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [(cos Ɵ _{1 *} cos ₂ - sin _{1 *} sin ₂ ) + i (cos _{1 *} sin ₂ + sin _{1 *} cos Ɵ ₂ )]

Cuối cùng, các thuộc tính lượng giác được áp dụng:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos (Ɵ ₁ + ₂ ) + i sin (Ɵ ₁ + ₂ )].

Tóm lại:

(z ₁ * z ₂ ) 2 = (r ₁ r ₂ [cos (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ ) + i sin (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ )]) 2

= r ₁ 2r ₂ 2 [cos 2 * ( ₁ + ₂ ) + i sin 2 * (Ɵ ₁ + ₂ )].

Bài tập 1

Viết số phức dưới dạng cực nếu z = - 2 -2i. Sau đó, sử dụng định lý Moivre, tính z4.

Giải pháp

Số phức z = -2 -2i được biểu thị dưới dạng hình chữ nhật z = a + bi, trong đó:

a = -2.

b = -2

Biết rằng dạng cực là z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), chúng ta cần xác định giá trị của mô đun «r» và giá trị của đối số «Ɵ». Khi r = (a² + b²), các giá trị đã cho được thay thế:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Sau đó, để xác định giá trị của «Ɵ», dạng hình chữ nhật này được áp dụng, được đưa ra theo công thức:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Vì tan (Ɵ) = 1 và bạn có <0, nên bạn phải:

Ɵ = arctan (1) +.

= Π / 4 +

= 5Π / 4.

Vì giá trị của "r" và "" đã thu được, nên số phức z = -2 -2i có thể được biểu thị ở dạng cực bằng cách thay thế các giá trị:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Bây giờ định lý Moivre được sử dụng để tính z4:

z4 = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) 4

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

Bài tập 2

Tìm tích của các số phức bằng cách biểu thị nó ở dạng cực của nó:

z1 = 4 (cos 50o + i _* sin 50o)

z2 = 7 (cos 100o + i _* sin 100o).

Sau đó, tính (z1 * z2) ².

Giải pháp

Đầu tiên, tích của các số đã cho được tạo thành:

z ₁ z ₂ = [4 (cos 50o + i _* sin 50o)] * [7 (cos 100o + i _* sin 100o)]

Sau đó nhân các mô-đun lại với nhau và thêm các đối số:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _* [cos (50o + 100o) + i _* sin (50o + 100o)]

Biểu thức được đơn giản hóa:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150o + (i _* sin 150o).

Cuối cùng, định lý Moivre được áp dụng:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150o + (i _* sin 150o)) ² = 784 (cos 300o + (i _* sin 300o)).

Tính toán sức mạnh tiêu cực

Để chia hai số phức z _{1 và} z ₂ thành dạng cực của chúng, mô-đun được chia và các đối số được trừ. Do đó, thương số là z ₁ ÷ z ₂ và được biểu thị như sau:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ ₁ - Ɵ ₂ ) + i sin (Ɵ ₁ - ₂ )]).

Như trong trường hợp trước, nếu bạn muốn tính toán (z1 z2) ³ trước tiên, phép chia được thực hiện và sau đó định lý Moivre được sử dụng.