Phân loại số thực
Việc phân loại chính của số thực được chia thành số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỷ và số vô tỷ. Các số thực được biểu thị bằng chữ R.
Có nhiều cách mà các số thực khác nhau có thể được xây dựng hoặc mô tả, thay đổi từ các dạng đơn giản hơn đến các dạng phức tạp hơn, tùy thuộc vào công việc toán học mà bạn muốn làm.
Số thực được phân loại như thế nào?
Số tự nhiên
Đây là những con số được sử dụng để đếm, chẳng hạn như "có bốn bông hoa trong ly".
Một số định nghĩa bắt đầu các số tự nhiên bằng 0, trong khi các định nghĩa khác bắt đầu bằng 1. Các số tự nhiên là các số được sử dụng để đếm: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... vv; Chúng được sử dụng như số thứ tự hoặc số chính.
Số tự nhiên là cơ sở mà nhiều bộ số khác có thể được xây dựng bằng cách mở rộng: số nguyên, số hữu tỷ, số thực và số phức trong số các số khác.
Các chuỗi mở rộng này tạo thành các số tự nhiên được xác định theo quy tắc trong các hệ thống số khác.
Các tính chất của số tự nhiên, chẳng hạn như tính chia hết và phân bố số chính, được nghiên cứu trong lý thuyết số.
Các vấn đề liên quan đến đếm và đặt hàng, chẳng hạn như liệt kê và phân vùng, được nghiên cứu trong tổ hợp.
Theo cách nói chung, như ở trường tiểu học, số tự nhiên có thể được gọi là số có thể đếm được để loại trừ số nguyên âm và số không.
Chúng có một số tính chất, chẳng hạn như: cộng, nhân, trừ, chia, v.v.
Số nguyên
Số nguyên là những số có thể được viết mà không có thành phần phân số. Ví dụ: 21, 4, 0, -76, v.v. Mặt khác, các số như 8, 58 hoặc √2 không phải là số nguyên.
Có thể nói rằng toàn bộ số là số hoàn chỉnh cùng với số âm của số tự nhiên. Chúng được sử dụng để thể hiện tiền đang nợ, độ sâu liên quan đến mực nước biển hoặc nhiệt độ subzero, để đặt tên cho một vài cách sử dụng.
Một bộ số nguyên bao gồm 0 (0), số tự nhiên dương (1, 2, 3 ...) và số nguyên âm (-1, -2, -3 ...). Nói chung, điều này được gọi là ZZ hoặc Z (Z) đậm.
Z là tập con của nhóm các số hữu tỉ Q, lần lượt tạo thành nhóm các số thực R. Giống như các số tự nhiên, Z là một nhóm có thể đếm được vô hạn.
Các số nguyên tạo thành nhóm nhỏ nhất và tập hợp số tự nhiên nhỏ nhất. Trong lý thuyết về số đại số, số nguyên đôi khi được gọi là số nguyên không hợp lý để phân biệt chúng với số nguyên đại số.
Số hợp lý
Số hữu tỷ là bất kỳ số nào có thể được biểu thị dưới dạng thành phần hoặc phân số của hai số nguyên p / q, tử số p và mẫu số q. Vì q có thể bằng 1, mỗi số nguyên là một số hữu tỷ.
Tập hợp các số hữu tỷ, thường được gọi là "số hữu tỷ", được ký hiệu là Q.
Sự mở rộng thập phân của một số hữu tỷ luôn kết thúc sau một số chữ số hữu hạn hoặc khi cùng một chuỗi các chữ số hữu hạn được lặp đi lặp lại nhiều lần.
Ngoài ra, bất kỳ số thập phân lặp lại hoặc đầu cuối đại diện cho một số hữu tỷ. Những tuyên bố này không chỉ đúng với cơ sở 10, mà còn cho bất kỳ cơ sở số nguyên nào khác.
Một số thực không hợp lý được gọi là không hợp lý. Các số vô tỷ bao gồm √2, ví dụ a và e. Vì toàn bộ tập hợp các số có thể đếm được là có thể đếm được và nhóm các số thực không thể đếm được, nên có thể nói rằng hầu như tất cả các số thực là không hợp lý.
Số hữu tỷ có thể được định nghĩa chính thức là các lớp tương đương của các cặp số nguyên (p, q) sao cho q 0 hoặc quan hệ tương đương được xác định bởi (p1, q1) (p2, q2) chỉ khi p1, q2 = p2q1.
Các số hợp lý, cùng với phép cộng và phép nhân, tạo thành các trường tạo thành toàn bộ số và được chứa bởi bất kỳ nhánh nào có chứa số nguyên.
Số vô tỷ
Số vô tỷ là tất cả các số thực không phải là số hữu tỷ; Số vô tỷ không thể được biểu thị dưới dạng phân số. Các số hữu tỷ là các số bao gồm các phân số của toàn bộ số.
Như một hệ quả của bằng chứng của Cantor rằng tất cả các số thực là không thể đếm được và các số hữu tỷ là có thể đếm được, có thể kết luận rằng hầu như tất cả các số thực là không hợp lý.
Khi bán kính chiều dài của hai đoạn đường là một số vô tỷ, có thể nói rằng các đoạn đường này là không thể so sánh được; có nghĩa là không có đủ độ dài để mỗi trong số chúng có thể được "đo" với nhiều số nguyên cụ thể.
Trong số các số vô tỷ có bán kính π của chu vi hình tròn với đường kính của nó, số Euler (e), số vàng (φ) và căn bậc hai của hai; thậm chí nhiều hơn, tất cả các căn bậc hai của số tự nhiên là không hợp lý. Ngoại lệ duy nhất cho quy tắc này là các hình vuông hoàn hảo.
Có thể thấy rằng khi các số vô tỷ được biểu thị theo vị trí trong một hệ thống số, (ví dụ như bằng số thập phân) chúng không kết thúc hoặc được lặp lại.
Điều này có nghĩa là chúng không chứa một chuỗi các chữ số, sự lặp lại theo đó một dòng biểu diễn được thực hiện.
Ví dụ: biểu diễn thập phân của số π bắt đầu bằng 3.14159265358979, nhưng không có số chữ số hữu hạn có thể biểu thị chính xác π, cũng không thể lặp lại.
Bằng chứng cho thấy việc mở rộng thập phân của số hữu tỷ phải kết thúc hoặc được lặp lại khác với bằng chứng rằng phần mở rộng thập phân phải là số hữu tỷ; Mặc dù cơ bản và hơi dài, những bài kiểm tra này mất một số công việc.
Thông thường các nhà toán học thường không lấy khái niệm "kết thúc hoặc lặp lại" để định nghĩa khái niệm số hữu tỷ.
Số vô tỷ cũng có thể được điều trị thông qua các phân số không liên tục.
