Homothety: Thuộc tính, loại và ví dụ
Homothety là một thay đổi hình học trong mặt phẳng trong đó, từ một điểm cố định được gọi là tâm (O), khoảng cách được nhân với một yếu tố chung. Theo cách này, mỗi điểm P tương ứng với sản phẩm điểm P 'khác của phép biến đổi và các điểm này được căn chỉnh với điểm O.
Sau đó, homothety là một sự tương ứng giữa hai hình hình học, trong đó các điểm biến đổi được gọi là homothetic, và các điểm này được liên kết với một điểm cố định và với các phân đoạn song song với nhau.
Homothety
Homothety là một phép biến đổi không có hình ảnh đồng dạng, bởi vì từ một hình, một hoặc nhiều hình có kích thước lớn hơn hoặc nhỏ hơn hình gốc sẽ thu được; điều đó có nghĩa là, sự đồng nhất biến đổi một đa giác thành một đa giác tương tự khác.
Để sự tương đồng được hoàn thành, chúng phải tương ứng điểm tới điểm và thẳng với nhau, sao cho các cặp điểm tương đồng được căn chỉnh với một điểm cố định thứ ba, là trung tâm của sự tương đồng.
Tương tự như vậy, các cặp đường nối chúng phải song song. Mối quan hệ giữa các phân đoạn như vậy là một hằng số được gọi là tỷ lệ homothety (k); theo cách mà sự đồng nhất có thể được định nghĩa là:
Để thực hiện kiểu chuyển đổi này, chúng ta bắt đầu bằng cách chọn một điểm tùy ý, đây sẽ là trung tâm của sự tương đồng.
Từ thời điểm này, các phân đoạn dòng được vẽ cho mỗi đỉnh của hình sẽ được chuyển đổi. Thang đo mà việc tái tạo hình mới được thực hiện được đưa ra bằng tỷ lệ của homothety (k).
Thuộc tính
Một trong những tính chất chính của homothety là, vì lý do homothety (k), tất cả các số liệu homothetic đều tương tự nhau. Trong số các đặc tính nổi bật khác là:
- Trung tâm của homothety (O) là điểm kép duy nhất và điều này trở thành chính nó; đó là, nó không thay đổi.
- Các đường đi qua trung tâm tự biến đổi (chúng là gấp đôi), nhưng các điểm tạo ra nó không phải là gấp đôi.
- Các đường không đi qua tâm được chuyển thành các đường song song; theo cách đó, các góc của homothety vẫn giống nhau.
- Hình ảnh của một phân đoạn theo độ đồng nhất của tâm O và tỷ lệ k, là một phân đoạn song song với nó và có k lần chiều dài của nó. Ví dụ, như đã thấy trong hình ảnh sau đây, một đoạn AB bằng homothetic sẽ dẫn đến một phân đoạn khác A'B ', do đó AB sẽ song song với A'B' và k sẽ là:
- Góc homothetic là đồng dạng; đó là họ có cùng một biện pháp Do đó, hình ảnh của một góc là một góc có cùng biên độ.
Mặt khác, sự đồng nhất thay đổi tùy thuộc vào giá trị của tỷ lệ của nó (k) và các trường hợp sau có thể xảy ra:
- Nếu hằng số k = 1, tất cả các điểm đều cố định vì chúng tự biến đổi. Do đó, hình dạng homothetic trùng với bản gốc và phép biến đổi sẽ được gọi là hàm nhận dạng.
- Nếu k 1, điểm cố định duy nhất sẽ là tâm của homothety (O).
- Nếu k = -1, homothety trở thành đối xứng trung tâm (C); nghĩa là, một vòng quay quanh C sẽ xảy ra ở góc 180o.
- Nếu k> 1, kích thước của hình được chuyển đổi sẽ lớn hơn kích thước của bản gốc.
- Nếu 0 <k <1, kích thước của hình được chuyển đổi sẽ nhỏ hơn kích thước ban đầu.
- Nếu -1 <k <0, kích thước của hình được chuyển đổi sẽ nhỏ hơn và sẽ được xoay tương ứng với bản gốc.
- Nếu k <-1, kích thước của hình được chuyển đổi sẽ lớn hơn và được xoay tương ứng với bản gốc.
Các loại
Homothety cũng có thể được phân thành hai loại, tùy thuộc vào giá trị của tỷ lệ của nó (k):
Trực tiếp
Nó xảy ra nếu hằng số k> 0; đó là, các điểm tương đồng ở cùng một phía đối với trung tâm:
Yếu tố tỷ lệ hoặc tỷ lệ tương tự giữa các số liệu homothetic trực tiếp sẽ luôn luôn dương.
Homothetic ngược
Nó xảy ra nếu hằng số k <0; điều đó có nghĩa là, các điểm ban đầu và các điểm tương đồng của chúng nằm ở hai đầu đối diện với trung tâm của homothety nhưng phù hợp với nó. Trung tâm sẽ nằm giữa hai hình:
Hệ số tỷ lệ hoặc tỷ lệ tương tự giữa các số liệu nghịch đảo homothetic sẽ luôn âm.
Thành phần
Khi một số chuyển động được thực hiện liên tiếp cho đến khi có được một con số bằng với bản gốc, một thành phần của các chuyển động xảy ra. Thành phần của một số phong trào cũng là một phong trào.
Các thành phần giữa hai homothecias dẫn đến một homothecia mới; nghĩa là, chúng ta có một sản phẩm homothetic trong đó trung tâm sẽ được liên kết với tâm của hai biến đổi ban đầu và tỷ lệ (k) là sản phẩm của hai lý do.
Do đó, trong thành phần của hai homotheties H 1 (O 1, k 1 ) và H 2 (O 2, k 2 ), phép nhân các tỷ lệ của chúng: k 1 x k 2 = 1 sẽ dẫn đến tỷ lệ đồng nhất k 3 = k 1 x k 2 Trung tâm của homothety mới này (O 3 ) sẽ nằm trên dòng O 1 O 2 .
Sự tương đồng tương ứng với một sự thay đổi bằng phẳng và không thể đảo ngược; nếu hai homotheces được áp dụng có cùng trọng tâm và tỷ lệ nhưng với một dấu hiệu khác nhau, con số ban đầu sẽ được lấy.
Ví dụ
Ví dụ đầu tiên
Áp dụng một homothety cho đa giác trung tâm (O) nhất định, nằm cách điểm A 5 cm và có tỷ lệ k = 0, 7.
Giải pháp
Bất kỳ điểm nào được chọn là trung tâm của homothety và từ tia này được vẽ bởi các đỉnh của hình:
Khoảng cách từ tâm (O) đến điểm A là OA = 5; với điều này, bạn có thể xác định khoảng cách của một trong những điểm tương đồng (OA ') khi biết rằng k = 0, 7:
OA '= kx OA.
OA '= 0, 7 x 5 = 3, 5.
Quá trình có thể được thực hiện cho từng đỉnh hoặc bạn cũng có thể vẽ đa giác homothetic nhớ rằng hai đa giác có các cạnh song song:
Cuối cùng, phép biến đổi trông như thế này:
Ví dụ thứ hai
Áp dụng một homothety cho đa giác trung tâm (O) nhất định, nằm ở điểm 8, 5 cm từ điểm C và có tỷ lệ y k = -2.
Giải pháp
Khoảng cách từ tâm (O) đến điểm C là OC = 8, 5; với dữ liệu này, có thể xác định khoảng cách của một trong những điểm tương đồng (OC '), cũng biết rằng k = -2:
OC '= kx OC.
OC '= -2 x 8, 5 = -17
Sau khi vẽ các phân đoạn của các đỉnh của đa giác biến đổi, chúng ta có các điểm ban đầu và các đồng đẳng của chúng nằm ở hai đầu đối diện với tâm:
