Định lý Bayes: giải thích, ứng dụng, bài tập

Định lý Bayes là một thủ tục cho phép chúng ta biểu thị xác suất có điều kiện của một sự kiện ngẫu nhiên A đã cho B, xét về phân phối xác suất của sự kiện B cho A và phân phối xác suất chỉ A.

Định lý này rất hữu ích, nhờ có nó, chúng ta có thể liên quan đến xác suất xảy ra sự kiện A khi biết rằng B xảy ra, với xác suất xảy ra điều ngược lại, nghĩa là B xảy ra với A.

Định lý của Bayes là một đề xuất bạc của Reverend Thomas Bayes, một nhà thần học người Anh thế kỷ thứ mười tám, cũng là một nhà toán học. Ông là tác giả của một số công trình trong thần học, nhưng hiện được biết đến với một vài chuyên luận toán học, trong đó Định lý Bayes đã nói ở trên là kết quả chính.

Bayes đã giải quyết định lý này trong một bài báo có tựa đề "Một tiểu luận hướng tới giải quyết vấn đề trong học thuyết về các cơ hội", xuất bản năm 1763, và trên đó các công trình lớn đã được phát triển để giải quyết vấn đề trong học thuyết về các khả năng. Các nghiên cứu với các ứng dụng trong các lĩnh vực kiến thức khác nhau.

Giải thích

Trước tiên, để hiểu rõ hơn về định lý này, một số khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất là cần thiết, đặc biệt là định lý nhân cho xác suất có điều kiện, trong đó nêu rõ rằng

Cho E và A các sự kiện tùy ý của một không gian mẫu S.

Và định nghĩa của các phân vùng, cho chúng ta biết rằng nếu chúng ta có A ₁, A ₂, ..., A _n sự kiện của một không gian mẫu S, chúng sẽ tạo thành một phân vùng của S, nếu A _i loại trừ lẫn nhau và liên kết của chúng là S.

Có điều này, hãy để B là một sự kiện khác. Sau đó chúng ta có thể thấy B là

Trong đó A _i giao với B là các sự kiện loại trừ lẫn nhau.

Và do đó,

Sau đó, áp dụng định lý nhân

Mặt khác, xác suất có điều kiện của Ai cho B được xác định bởi

Thay thế đầy đủ, chúng tôi phải cho bất kỳ i

Các ứng dụng của Định lý Bayes

Nhờ kết quả này, các nhóm nghiên cứu và các tập đoàn đa dạng đã quản lý để cải thiện các hệ thống dựa trên kiến thức.

Ví dụ, trong nghiên cứu về bệnh, định lý của Bayes có thể giúp nhận ra xác suất bệnh sẽ được tìm thấy ở một nhóm người có đặc điểm nhất định, lấy dữ liệu về tỷ lệ toàn cầu của bệnh và ưu thế của các đặc điểm nói trên người vừa khỏe vừa ốm.

Mặt khác, trong thế giới công nghệ cao, đã ảnh hưởng đến các công ty lớn đã phát triển, nhờ kết quả này, phần mềm "Dựa trên kiến thức".

Như một ví dụ hàng ngày, chúng tôi có trợ lý Microsoft Office. Định lý Bayes giúp phần mềm đánh giá các vấn đề mà người dùng đưa ra và xác định lời khuyên nào sẽ cung cấp và do đó có thể cung cấp dịch vụ tốt hơn theo thói quen của người dùng.

Cần lưu ý rằng công thức này đã bị bỏ qua cho đến thời gian gần đây, điều này chủ yếu là do thực tế là khi kết quả này được phát triển 200 năm trước, có rất ít sử dụng thực tế cho chúng. Tuy nhiên, trong thời đại của chúng ta, nhờ những tiến bộ công nghệ tuyệt vời, các nhà khoa học đã đạt được những cách để đưa kết quả này vào thực tế.

Bài tập đã giải quyết

Bài tập 1

Một công ty di động có hai máy A và B. 54% điện thoại di động được sản xuất được sản xuất bởi máy A và phần còn lại bằng máy B. Không phải tất cả điện thoại di động được sản xuất đều trong tình trạng tốt.

Tỷ lệ điện thoại di động bị lỗi do A tạo ra là 0, 2 và B là 0, 5. Xác suất mà một điện thoại di động của nhà máy nói là bị lỗi là gì? Xác suất mà biết rằng điện thoại di động bị lỗi là gì từ máy A?

Giải pháp

Ở đây, bạn có một thí nghiệm được thực hiện trong hai phần; trong phần đầu tiên các sự kiện xảy ra:

A: điện thoại di động được làm bằng máy A.

B: điện thoại di động được làm bằng máy B.

Vì máy A tạo ra 54% điện thoại di động và phần còn lại được sản xuất bởi máy B, nên máy B tạo ra 46% điện thoại di động. Xác suất của những sự kiện này được đưa ra, cụ thể là:

P (A) = 0, 54.

P (B) = 0, 46.

Các sự kiện của phần thứ hai của thí nghiệm là:

D: điện thoại di động bị lỗi

E: điện thoại di động không bị lỗi.

Như đã nói trong tuyên bố, xác suất của những sự kiện này phụ thuộc vào kết quả thu được trong phần đầu tiên:

P (D | A) = 0, 2.

P (D | B) = 0, 5.

Sử dụng các giá trị này, bạn cũng có thể xác định xác suất của phần bổ sung của các sự kiện này, đó là:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0, 2

= 0, 8

và

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0, 5

= 0, 5.

Bây giờ, sự kiện D có thể được viết như sau:

Sử dụng định lý nhân cho xác suất có điều kiện, kết quả:

Với câu hỏi đầu tiên được trả lời.

Bây giờ chúng ta chỉ cần tính P (A | D), theo đó Định lý Bayes áp dụng:

Nhờ Định lý của Bayes, có thể nói rằng xác suất điện thoại di động được tạo ra bởi máy A, biết rằng điện thoại di động bị lỗi, là 0, 319.

Bài tập 2

Ba hộp chứa bóng trắng và đen. Thành phần của mỗi loại như sau: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.

Một trong các hộp được chọn ngẫu nhiên và một quả bóng ngẫu nhiên được trích ra từ nó, hóa ra là màu trắng. Hộp nào có nhiều khả năng đã được chọn?

Giải pháp

Bằng phương tiện của U1, U2 và U3, chúng tôi cũng sẽ đại diện cho hộp đã chọn.

Những sự kiện này tạo thành một phân vùng của S và được xác minh rằng P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 do sự lựa chọn của hộp là ngẫu nhiên.

Nếu B = {bóng được trích xuất có màu trắng}, chúng ta sẽ có P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4.

Những gì chúng tôi muốn có được là xác suất để quả bóng được lấy ra khỏi hộp Ui khi biết rằng quả bóng có màu trắng, nghĩa là P (Ui | B), và xem giá trị nào trong ba giá trị là cao nhất để biết hộp có nhiều khả năng khai thác bóng trắng.

Áp dụng định lý Bayes cho hộp đầu tiên: