Nội suy tuyến tính: Phương pháp, bài tập đã giải
Nội suy tuyến tính là phương pháp bắt nguồn từ phép nội suy tổng quát của Newton và cho phép xác định bằng cách xấp xỉ một giá trị không xác định nằm giữa hai số đã cho; đó là, có một giá trị trung gian. Nó cũng được áp dụng cho các hàm gần đúng, trong đó các giá trị f (a) và f (b) được biết đến và chúng tôi muốn biết trung gian của f (x) .
Có nhiều loại nội suy khác nhau, chẳng hạn như các lớp tuyến tính, bậc hai, khối và cao hơn, đơn giản nhất là xấp xỉ tuyến tính. Cái giá phải trả bằng phép nội suy tuyến tính là kết quả sẽ không chính xác như với xấp xỉ bởi các hàm của mức độ cao hơn.
Định nghĩa
Nội suy tuyến tính là một quá trình cho phép bạn suy ra một giá trị giữa hai giá trị được xác định rõ, có thể nằm trong một bảng hoặc trong một biểu đồ tuyến tính.
Ví dụ: nếu bạn biết rằng 3 lít sữa trị giá 4 đô la và 5 lít đó trị giá 7 đô la, nhưng bạn muốn biết giá trị của 4 lít sữa là gì, hãy nội suy để xác định giá trị trung gian đó.
Phương pháp
Để ước tính giá trị trung gian của hàm, hàm f (x) được xấp xỉ bởi một dòng r (x), có nghĩa là hàm này thay đổi tuyến tính với "x" cho một đoạn "x = a" và "x = b »; nghĩa là, đối với một giá trị "x" trong khoảng (x 0, x 1 ) y (y 0, y 1 ), giá trị của "y" được cho bởi dòng giữa các điểm và được biểu thị bằng quan hệ sau:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Để một phép nội suy là tuyến tính, điều cần thiết là đa thức nội suy phải là bậc một (n = 1), để nó điều chỉnh theo các giá trị của x 0 và x 1.
Nội suy tuyến tính dựa trên sự giống nhau của các tam giác, theo cách mà xuất phát từ hình học trước đó, chúng ta có thể nhận được giá trị của «y», đại diện cho giá trị chưa biết cho «x».
Theo cách đó bạn phải:
a = tan Ɵ = (phía đối diện 1 bên cạnh 1 ) = (phía đối diện 2 bên cạnh 2 )
Thể hiện theo một cách khác, đó là:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Bằng cách xóa "và" các biểu thức, bạn có:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
Do đó, chúng ta có được phương trình tổng quát cho phép nội suy tuyến tính:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
Nói chung, phép nội suy tuyến tính đưa ra một lỗi nhỏ so với giá trị thực của hàm thực, mặc dù lỗi này rất nhỏ so với nếu bạn trực giác chọn một số gần với số bạn muốn tìm.
Lỗi này xảy ra khi bạn cố gắng xấp xỉ giá trị của một đường cong bằng một đường thẳng; đối với những trường hợp này, kích thước của khoảng phải được giảm để làm cho cách tiếp cận chính xác hơn.
Để có kết quả tốt hơn đối với phương pháp này, nên sử dụng các hàm cấp 2, 3 hoặc thậm chí cao hơn để thực hiện phép nội suy. Đối với những trường hợp này, định lý Taylor là một công cụ rất hữu ích.
Bài tập đã giải quyết
Bài tập 1
Số lượng vi khuẩn trên một đơn vị thể tích tồn tại trong thời gian ủ sau x giờ được trình bày trong bảng sau. Bạn muốn biết khối lượng vi khuẩn trong thời gian 3, 5 giờ là bao nhiêu.
Giải pháp
Bảng tham chiếu không thiết lập giá trị cho biết lượng vi khuẩn trong thời gian 3, 5 giờ nhưng có giá trị cao hơn và thấp hơn tương ứng với thời gian lần lượt là 3 và 4 giờ. Theo cách đó:
x 0 = 3 và 0 = 91
x = 3, 5 y =?
x 1 = 4 và 1 = 135
Bây giờ, phương trình toán học được áp dụng để tìm giá trị nội suy, đó là:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )].
Sau đó, các giá trị tương ứng được thay thế:
y = 91 + (135 - 91) * [(3, 5 - 3) ÷ (4 - 3)]
y = 91 + (44) * [(0, 5) (1)]
y = 91 + 44 * 0, 5
y = 113
Do đó, người ta nhận được rằng trong thời gian 3, 5 giờ, lượng vi khuẩn là 113, đại diện cho mức độ trung gian giữa khối lượng vi khuẩn tồn tại trong thời gian 3 đến 4 giờ.
Bài tập 2
Luis có một nhà máy kem, và anh ấy muốn làm một nghiên cứu để xác định thu nhập anh ấy có trong tháng 8 từ các chi phí được thực hiện. Người quản lý của công ty tạo ra một biểu đồ thể hiện mối quan hệ đó, nhưng Luis muốn biết:
Thu nhập của tháng 8 là bao nhiêu, nếu chi phí 55.000 đô la được thực hiện?
Giải pháp
Một biểu đồ được đưa ra với các giá trị thu nhập và chi phí. Luis muốn biết thu nhập tháng 8 là bao nhiêu nếu nhà máy có chi phí 55.000 đô la. Giá trị này không được phản ánh trực tiếp trong biểu đồ, nhưng các giá trị cao hơn và thấp hơn giá trị này có sẵn.
Đầu tiên, một bảng được tạo ra để liên kết các giá trị một cách dễ dàng:
Bây giờ, công thức nội suy được sử dụng để xác định giá trị của y
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]
Sau đó, các giá trị tương ứng được thay thế:
y = 56.000 + (78.000 - 56.000) * [(55.000 - 45.000) (62.000 - 45.000)]
y = 56.000 + (22.000) * [(10.000) (17.000)]
y = 56.000 + (22.000) * (0, 588)
y = 56.000 + 12.936
y = 68.936 đô la.
Nếu chi phí 55.000 đô la được thực hiện vào tháng 8, thu nhập là 68.936 đô la.
