Tam giác Isosceles: đặc điểm, công thức và diện tích, tính toán

Một tam giác cân là một đa giác có ba cạnh, trong đó hai trong số chúng có cùng số đo và cạnh thứ ba là một số đo khác nhau. Mặt cuối cùng này được gọi là cơ sở. Do đặc điểm này, nó đã được đặt tên này, trong tiếng Hy Lạp có nghĩa là "hai chân bằng nhau"

Hình tam giác là đa giác được coi là đơn giản nhất trong hình học, bởi vì chúng được hình thành bởi ba cạnh, ba góc và ba đỉnh. Chúng là những cái có số cạnh và góc nhỏ nhất so với các đa giác khác, tuy nhiên việc sử dụng chúng rất rộng rãi.

Đặc điểm của tam giác cân

Tam giác cân được phân loại bằng cách sử dụng số đo các cạnh của nó làm tham số, vì hai cạnh của nó đồng dạng (chúng có cùng độ dài).

Theo biên độ của các góc bên trong, các tam giác cân được phân loại là:

  • Hình tam giác cân tam giác : hai cạnh của nó bằng nhau. Một trong các góc của nó là thẳng (90o) và các góc khác bằng nhau (45o mỗi góc)
  • Các tam giác cân Oboscule : hai cạnh của nó bằng nhau. Một trong những góc của nó là obtuse (> 90o).
  • Isosceles tam giác cấp tính : hai cạnh của nó bằng nhau. Tất cả các góc là cấp tính (<90o), trong đó hai góc có cùng số đo.

Linh kiện

  • Đường trung tuyến : là đường thẳng rời khỏi điểm giữa của một phía và chạm tới đỉnh đối diện. Ba trung vị gặp nhau tại một điểm gọi là centroid hoặc centroid.
  • Bộ chia : là một tia phân chia góc của mỗi đỉnh thành hai góc có kích thước bằng nhau. Đó là lý do tại sao nó được gọi là trục đối xứng và loại hình tam giác này chỉ có một.
  • Đường phân giác vuông góc : là một đoạn vuông góc với cạnh của tam giác, bắt nguồn từ giữa này. Có ba trung gian trong một hình tam giác và đồng tình ở một điểm gọi là cắt bao quy đầu.
  • Chiều cao : là đường thẳng đi từ đỉnh sang cạnh đối diện và đường này cũng vuông góc với cạnh đó. Tất cả các tam giác đều có ba độ cao, trùng khớp tại một điểm gọi là orthocenter.

Thuộc tính

Các tam giác Isosceles được xác định hoặc xác định bởi vì chúng có một số tính chất đại diện cho chúng, bắt nguồn từ các định lý được đề xuất bởi các nhà toán học vĩ đại:

Góc bên trong

Tổng các góc bên trong luôn bằng 180o.

Tổng của các bên

Tổng các số đo của hai bên phải luôn luôn lớn hơn số đo của bên thứ ba, a + b> c.

Bên đồng thuận

Tam giác Isosceles có hai cạnh có cùng số đo hoặc chiều dài; đó là, chúng đồng dạng và bên thứ ba khác với những thứ này.

Góc đồng dạng

Tam giác Isosceles cũng được gọi là tam giác iso góc, bởi vì chúng có hai góc có cùng số đo (đồng dư). Chúng nằm ở đáy của hình tam giác, đối diện với các cạnh có cùng chiều dài.

Do đó, định lý xác lập rằng:

"Nếu một tam giác có hai cạnh đồng dạng, các góc đối diện với các cạnh đó cũng sẽ đồng dạng." Do đó, nếu một tam giác cân là các góc của các đáy của nó là đồng dạng.

Ví dụ:

Hình dưới đây cho thấy một tam giác ABC. Bằng cách truy tìm dấu chia của nó từ đỉnh của góc B đến đáy, tam giác được chia thành hai tam giác bằng BDA và BDC bằng nhau:

Do đó, góc của đỉnh B cũng được chia thành hai góc bằng nhau. Hiện tại bisector là cạnh (BD) chung giữa hai tam giác mới đó, trong khi các cạnh AB và BC là các cạnh đồng dạng. Đây là trường hợp của bên đồng dạng, góc, bên (LAL).

Điều này cho thấy các góc của các đỉnh A và C có cùng số đo, cũng như có thể chỉ ra rằng vì các tam giác BDA và BDC đồng dạng, nên các cạnh AD và DC cũng đồng dạng.

Chiều cao, trung vị, bisector và bisector là trùng khớp

Đường thẳng được vẽ từ đỉnh đối diện với đáy đến trung điểm của đáy của tam giác cân, đồng thời là chiều cao, trung tuyến và đường phân giác, cũng như đường phân giác so với góc đối diện của đáy.

Tất cả các phân đoạn này trùng khớp trong một đại diện cho chúng.

Ví dụ:

Hình dưới đây cho thấy tam giác ABC có điểm giữa M chia cơ sở thành hai đoạn BM và CM.

Khi bạn vẽ một đoạn từ điểm M đến đỉnh đối diện, theo định nghĩa, bạn nhận được trung tuyến AM, tương đối với đỉnh A và cạnh BC.

Do đoạn AM chia tam giác ABC thành hai tam giác AMB và AMC bằng nhau, nên có nghĩa là trường hợp của cạnh, góc, cạnh bên sẽ có mặt và do đó AM cũng sẽ là phân giác của BÂC.

Đó là lý do tại sao bisector sẽ luôn luôn bằng trung bình và ngược lại.

Đoạn AM tạo thành các góc có cùng số đo cho các tam giác AMB và AMC; nghĩa là, chúng được bổ sung theo cách mà số đo của mỗi người sẽ là:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = thứ 180

2 * Med. (AMC) = 180o

Trung bình (AMC) = 180o 2

Trung bình (AMC) = thứ 90

Có thể biết rằng các góc được tạo bởi đoạn AM so với đáy của tam giác đều thẳng, điều này cho thấy đoạn này hoàn toàn vuông góc với đáy.

Do đó, nó đại diện cho chiều cao và bisector, biết rằng M là trung điểm.

Do đó đường thẳng AM:

  • Nó đại diện cho chiều cao của BC.
  • Nó là vừa.
  • Nó được chứa trong mediatrix của BC.
  • Nó là đường phân giác của góc đỉnh Â

Chiều cao tương đối

Các độ cao tương đối với các cạnh bằng nhau, cũng có cùng số đo.

Vì tam giác cân có hai cạnh bằng nhau, hai chiều cao tương ứng của chúng cũng sẽ bằng nhau.

Orthocenter, barycenter, incenter và cắt bao quy đầu trùng khớp

Khi chiều cao, trung vị, bisector và bisector so với cơ sở, được biểu diễn cùng một lúc bởi cùng một phân đoạn, orthocenter, incenter trung tâm và cắt bao quy đầu sẽ là các điểm cộng tuyến, nghĩa là chúng sẽ nằm trên cùng một đường thẳng:

Làm thế nào để tính chu vi?

Chu vi của một đa giác được tính bằng tổng của các cạnh.

Như trong trường hợp này, tam giác cân có hai cạnh có cùng số đo, chu vi của nó được tính theo công thức sau:

P = 2 * (bên a) + (bên b).

Làm thế nào để tính chiều cao?

Chiều cao là đường thẳng vuông góc với đáy, chia tam giác thành hai phần bằng nhau bằng cách kéo dài tới đỉnh đối diện.

Chiều cao đại diện cho chân đối diện (a), một nửa cơ sở (b / 2) với chân liền kề và phía "a" đại diện cho cạnh huyền.

Sử dụng định lý Pythagore, bạn có thể xác định giá trị của chiều cao:

a2 + b 2 = c 2

Ở đâu:

a 2 = chiều cao (h).

b 2 = b / 2.

c 2 = bên a.

Thay thế các giá trị này trong định lý Pythagore và xóa chiều cao chúng ta có:

h 2 + ( b / 2) 2 = a 2

h 2 + b 2/4 = a 2

h 2 = a 2 - b 2/4

h = √ ( a 2 - b 2/4).

Nếu góc được tạo bởi các cạnh đồng dạng đã biết, chiều cao có thể được tính theo công thức sau:

Làm thế nào để tính diện tích?

Diện tích của các hình tam giác luôn được tính theo cùng một công thức, nhân số cơ sở theo chiều cao và chia cho hai:

Có những trường hợp chỉ đo được hai cạnh của tam giác và góc tạo thành giữa chúng. Trong trường hợp này, để xác định diện tích cần áp dụng các tỷ lệ lượng giác:

Cách tính đáy của tam giác?

Vì tam giác cân có hai cạnh bằng nhau, để xác định giá trị cơ sở của nó, cần phải biết ít nhất là số đo chiều cao hoặc một trong các góc của nó.

Biết chiều cao định lý Pythagore được sử dụng:

a2 + b2 = c2

Ở đâu:

a2 = chiều cao (h).

c2 = bên a.

b2 = b / 2, không xác định.

Chúng tôi xóa b2 của công thức và chúng tôi phải:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Vì giá trị này tương ứng với một nửa cơ sở, nó phải được nhân với hai để có được số đo hoàn chỉnh của cơ sở của tam giác cân:

b = 2 * (√ a2 - c2)

Trong trường hợp chỉ biết giá trị của các cạnh bằng nhau và góc giữa chúng, lượng giác được áp dụng, vạch một đường thẳng từ đỉnh đến đáy chia tam giác cân thành hai tam giác vuông.

Theo cách này, một nửa số cơ sở được tính bằng:

Cũng có thể chỉ biết giá trị của chiều cao và góc của đỉnh đối diện với đáy. Trong trường hợp đó bằng lượng giác, cơ sở có thể được xác định:

Bài tập

Bài tập đầu tiên

Tìm diện tích tam giác cân ABC, biết rằng hai cạnh của nó đo được 10 cm và cạnh thứ ba đo được 12 cm.

Giải pháp

Để tìm diện tích của tam giác, cần phải tính chiều cao bằng cách sử dụng công thức của diện tích có liên quan đến định lý Pythagore, vì giá trị của góc tạo thành giữa các cạnh bằng nhau không được biết.

Chúng tôi có dữ liệu sau đây của tam giác cân:

  • Các cạnh bằng nhau (a) = 10 cm.
  • Cơ sở (b) = 12 cm.

Các giá trị trong công thức được thay thế:

Bài tập thứ hai

Chiều dài hai cạnh bằng nhau của một tam giác cân có kích thước 42 cm, sự kết hợp của các cạnh này tạo thành một góc 130o. Xác định giá trị của cạnh thứ ba, diện tích của tam giác đó và chu vi.

Giải pháp

Trong trường hợp này, các phép đo của các cạnh và góc giữa chúng được biết đến.

Để biết giá trị của cạnh bị thiếu, đó là đáy của tam giác đó, chúng ta vẽ một đường thẳng vuông góc với nó, chia góc thành hai phần bằng nhau, một cho mỗi tam giác vuông được tạo thành.

  • Các cạnh bằng nhau (a) = 42 cm.
  • Góc (Ɵ) = 130o

Bây giờ bằng cách lượng giác, giá trị của một nửa cơ sở được tính toán, tương ứng với một nửa của cạnh huyền:

Để tính diện tích cần phải biết chiều cao của tam giác đó có thể được tính bằng lượng giác hoặc theo định lý Pythagore, bây giờ giá trị của cơ sở đã được xác định.

Theo lượng giác nó sẽ là:

Chu vi được tính:

P = 2 * (bên a) + (bên b).

P = 2 * (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Bài tập thứ ba

Tính các góc trong của tam giác cân, biết rằng góc của đáy là Â = 55o

Giải pháp

Để tìm hai góc bị thiếu (Ê và Ô) cần nhớ hai thuộc tính của các tam giác:

  • Tổng các góc trong của bất kỳ tam giác nào sẽ luôn là = 180o:

 + Ê + Ô = 180 o

  • Trong một tam giác cân, các góc của đáy luôn đồng dạng, nghĩa là chúng có cùng số đo, do đó:

 = Ô

Ê = 55o

Để xác định giá trị của góc Ê, thay thế các giá trị của các góc khác trong quy tắc đầu tiên và xóa Ê:

55o + 55o + Ô = 180 o

110 hoặc + Ô = 180 o

Ô = 180 o - 110 o

Ô = 70 o.