Sản phẩm đáng chú ý: giải thích và bài tập giải
Các sản phẩm đáng chú ý là các phép toán đại số, trong đó phép nhân đa thức được biểu thị, không cần phải giải theo cách truyền thống, nhưng với sự trợ giúp của các quy tắc nhất định, bạn có thể tìm thấy kết quả của chúng.
Đa thức được nhân với chính chúng, do đó chúng có thể có một số lượng lớn các thuật ngữ và biến. Để làm cho quá trình ngắn hơn, các quy tắc của các sản phẩm đáng chú ý được sử dụng, cho phép nhân lên được thực hiện mà không cần phải đi theo thời hạn.
Các sản phẩm và ví dụ đáng chú ý
Mỗi sản phẩm đáng chú ý là một công thức kết quả từ một yếu tố, bao gồm các đa thức của các thuật ngữ khác nhau như nhị thức hoặc tam thức, được gọi là các yếu tố.
Các yếu tố là cơ sở của một quyền lực và có số mũ. Khi các yếu tố nhân lên, số mũ phải được thêm vào.
Có một số công thức sản phẩm đáng chú ý, một số được sử dụng nhiều hơn các công thức khác, tùy thuộc vào đa thức, và chúng là như sau:
Bình phương nhị thức
Nó là phép nhân của một nhị thức của chính nó, được biểu thị dưới dạng quyền lực, trong đó các thuật ngữ được thêm hoặc trừ:
a. Binomial sum-squared: bằng bình phương của số hạng thứ nhất, cộng với gấp đôi tích của các số hạng, cộng với bình phương của số hạng thứ hai. Nó được thể hiện như sau:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
Hình dưới đây cho thấy cách sản phẩm được phát triển theo quy tắc đã nói ở trên. Kết quả được gọi là tam giác của một hình vuông hoàn hảo.
Ví dụ 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10 x + 25.
Ví dụ 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2
(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.
b. Binomial của phép trừ cho bình phương: quy tắc tương tự của nhị thức của một tổng được áp dụng, chỉ trong trường hợp này thuật ngữ thứ hai là âm. Công thức của nó là như sau:
(a - b) 2 = [(a) + (- b)] 2
(a - b) 2 = a2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2.
Ví dụ 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 62
(2x - 6) 2 = 4x2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x2 - 24x + 36.
Sản phẩm của nhị thức liên hợp
Hai nhị thức được liên hợp khi các số hạng thứ hai của mỗi dấu hiệu khác nhau, nghĩa là của số thứ nhất là số dương và số thứ hai âm hoặc ngược lại. Giải quyết bằng cách nâng từng ô vuông đơn và trừ. Công thức của nó là như sau:
(a + b) * (a - b)
Trong hình dưới đây, sản phẩm của hai nhị thức liên hợp được phát triển, trong đó người ta quan sát thấy kết quả là sự khác biệt của hình vuông.
Ví dụ 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b2)
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 - 9b2.
Sản phẩm của hai nhị thức có một thuật ngữ chung
Nó là một trong những sản phẩm đáng chú ý phức tạp nhất và ít được sử dụng bởi vì nó là phép nhân của hai nhị thức có một thuật ngữ chung. Quy tắc chỉ ra những điều sau đây:
- Bình phương của thuật ngữ chung.
- Cộng thêm các thuật ngữ không phổ biến và sau đó nhân chúng với thuật ngữ chung.
- Cộng với tổng của các số hạng không phổ biến.
Nó được biểu diễn trong công thức: (x + a) * (x + b) và được phát triển như thể hiện trong hình ảnh. Kết quả là một tam giác vuông không hoàn hảo.
(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.
Có khả năng thuật ngữ thứ hai (thuật ngữ khác) là âm và công thức của nó là: (x + a) * (x - b).
Ví dụ 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + 14x - 8.
Nó cũng có thể là trường hợp cả hai điều khoản khác nhau là tiêu cực. Công thức của nó sẽ là: (x - a) * (x - b).
Ví dụ 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 - 33b + 30.
Đa thức vuông
Trong trường hợp này có nhiều hơn hai thuật ngữ và để phát triển nó, mỗi thuật ngữ được bình phương và cộng lại với hai lần nhân của một thuật ngữ với một thuật ngữ khác; công thức của nó là: (a + b + c) 2 và kết quả của phép toán là một tam giác bình phương.
Ví dụ 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x2 + 4y2 + 16z2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Nhị phân cho khối lập phương
Nó là một sản phẩm phức tạp đáng chú ý. Để phát triển nó, nhân nhị thức với bình phương của nó, theo cách sau:
a. Đối với nhị thức cho khối lập phương:
- Khối lập phương của số hạng thứ nhất, cộng với bộ ba bình phương của số hạng thứ nhất bằng số thứ hai.
- Cộng với ba của nhiệm kỳ đầu tiên, bằng bình phương thứ hai.
- Cộng với khối lập phương của nhiệm kỳ thứ hai.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a2 + 2ab + b2)
(a + b) 3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3
(a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Ví dụ 1
(a + 3) 3 = a3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a3 + 9 a2 + 27a + 27.
b. Đối với nhị thức cho khối lập phương của phép trừ:
- Khối lập phương của số hạng thứ nhất, trừ ba phần bình phương của số hạng thứ nhất bằng số thứ hai.
- Cộng với ba của nhiệm kỳ đầu tiên, bằng bình phương thứ hai.
- Ít hơn khối lập phương của nhiệm kỳ thứ hai.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a2 - 2ab + b2)
(a - b) 3 = a3 - 2a2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - b3
(a - b) 3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.
Ví dụ 2
(b - 5) 3 = b3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b3 - 15b2 + 75b - 125.
Xô của một tam thức
Nó phát triển bằng cách nhân nó với hình vuông của nó. Nó là một sản phẩm đáng chú ý rất rộng rãi vì có 3 thuật ngữ được nâng lên khối, cộng với ba lần mỗi bình phương, nhân với mỗi điều khoản, cộng với sáu lần sản phẩm của ba thuật ngữ. Nhìn theo cách tốt hơn:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc.
Ví dụ 1
Bài tập giải các sản phẩm đáng chú ý
Bài tập 1
Phát triển nhị thức sau cho khối lập phương: (4x - 6) 3.
Giải pháp
Hãy nhớ rằng một nhị thức cho khối lập phương bằng số hạng đầu tiên được nâng lên khối lập phương, trừ ba phần bình phương của số hạng thứ nhất bằng số thứ hai; cộng với bộ ba của số hạng thứ nhất, bằng bình phương thứ hai, trừ đi khối lập phương của số hạng thứ hai.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x3 - 3 (16x2) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x3 - 288x2 + 432x - 36.
Bài tập 2
Phát triển nhị thức sau: (x + 3) (x + 8).
Giải pháp
Có một nhị thức trong đó có một thuật ngữ chung, đó là x và thuật ngữ thứ hai là dương. Để phát triển nó, bạn chỉ phải bình phương thuật ngữ chung, cộng với tổng các thuật ngữ không phổ biến (3 và 8) và sau đó nhân chúng với thuật ngữ chung, cộng với tổng các thuật ngữ không phổ biến.
(x + 3) (x + 8) = x2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x2 + 11x + 24.
