Đạo hàm liên tiếp (với các bài tập đã giải)

Các đạo hàm kế tiếp là các đạo hàm của hàm sau đạo hàm thứ hai. Quá trình tính các đạo hàm kế tiếp là như sau: chúng ta có hàm f, chúng ta có thể suy ra và do đó có được hàm đạo hàm f '. Với đạo hàm này của f, chúng ta có thể lấy lại nó, lấy (f ')'.

Hàm mới này được gọi là đạo hàm thứ hai; tất cả các dẫn xuất được tính từ lần thứ hai là liên tiếp; Chúng, còn được gọi là bậc cao hơn, có các ứng dụng tuyệt vời, chẳng hạn như cung cấp thông tin về đồ thị của đồ thị của hàm, phép thử đạo hàm thứ hai cho các cực trị tương đối và xác định chuỗi vô hạn.

Định nghĩa

Sử dụng ký hiệu của Leibniz, chúng ta có đạo hàm của hàm "y" đối với "x" là dy / dx. Để diễn đạt đạo hàm thứ hai của "và" bằng cách sử dụng ký hiệu Leibniz, chúng tôi viết như sau:

Nói chung, chúng ta có thể biểu thị các đạo hàm kế tiếp như sau với ký hiệu Leibniz, trong đó n đại diện cho thứ tự của đạo hàm.

Các ký hiệu khác được sử dụng như sau:

Một số ví dụ nơi chúng ta có thể thấy các ký hiệu khác nhau là:

Ví dụ 1

Lấy tất cả các đạo hàm của hàm f được xác định bởi:

Sử dụng các kỹ thuật phái sinh thông thường, chúng ta có đạo hàm của f là:

Bằng cách lặp lại quá trình, chúng ta có thể có được đạo hàm thứ hai, đạo hàm thứ ba, v.v.

Lưu ý rằng đạo hàm thứ tư bằng 0 và đạo hàm của 0 bằng 0, vì vậy chúng ta phải:

Ví dụ 2

Tính đạo hàm thứ tư của hàm sau:

Kết quả của hàm đã cho, chúng ta có kết quả:

Tốc độ và gia tốc

Một trong những động lực dẫn đến việc phát hiện ra đạo hàm là việc tìm kiếm định nghĩa của vận tốc tức thời. Định nghĩa chính thức là như sau:

Đặt y = f (t) là một hàm có đồ thị mô tả quỹ đạo của hạt tại một t tức thời, sau đó vận tốc của nó tại một t tức thời được cho bởi:

Sau khi có được vận tốc của hạt, chúng ta có thể tính gia tốc tức thời, được định nghĩa như sau:

Gia tốc tức thời của một hạt có đường đi được cho bởi y = f (t) là:

Ví dụ 1

Một hạt di chuyển trên một đường theo hàm vị trí:

Trong đó "và" được đo bằng mét và "t" tính bằng giây.

- Ngay lập tức tốc độ 0 của bạn là bao nhiêu?

- Tại thời điểm nào thì gia tốc 0 của nó?

Khi lấy hàm vị trí «và» chúng ta có tốc độ và gia tốc của nó được đưa ra tương ứng bằng cách:

Để trả lời câu hỏi đầu tiên, đủ để xác định khi hàm v trở thành 0; đây là:

Chúng tôi tiến hành với câu hỏi sau đây tương tự:

Ví dụ 2

Một hạt chuyển động trên một đường theo phương trình chuyển động sau:

Xác định «t, y» và «v» khi a = 0.

Biết rằng tốc độ và gia tốc được đưa ra bởi

Chúng tôi tiến hành lấy và lấy:

Bằng cách thực hiện a = 0, chúng ta có:

Từ đó chúng ta có thể suy ra rằng giá trị của t để a bằng 0 là của t = 1.

Sau đó, đánh giá hàm vị trí và hàm vận tốc tại t = 1, chúng ta phải:

Ứng dụng

Đạo hàm Mplified

Các dẫn xuất kế tiếp cũng có thể thu được bằng đạo hàm ngầm.

Ví dụ

Cho hình elip sau, tìm «và»:

Xuất phát ngầm đối với rìu, chúng ta có:

Sau đó, hoàn nguyên ngầm đối với rìu, nó cho chúng ta:

Cuối cùng, chúng ta có:

Kết thúc tương đối

Một cách sử dụng khác mà chúng ta có thể đưa ra cho các đạo hàm của bậc hai là trong tính toán các đầu tương đối của hàm.

Tiêu chí của đạo hàm đầu tiên cho cực trị cục bộ cho chúng ta biết rằng, nếu chúng ta có hàm f liên tục trong một phạm vi (a, b) và tồn tại một c thuộc khoảng đó sao cho f'is bị hủy trong c (nghĩa là c là một điểm quan trọng), một trong ba trường hợp này có thể xảy ra:

- Nếu f '(x)> 0 với bất kỳ x thuộc (a, c) và f' (x) <0 cho x thuộc về (c, b), thì f (c) là cực đại cục bộ.

- Nếu f '(x) 0 cho x thuộc (c, b), thì f (c) là mức tối thiểu cục bộ.

- Nếu f '(x) có cùng dấu trong (a, c) và trong (c, b), thì ngụ ý rằng f (c) không phải là điểm cuối cục bộ.

Sử dụng tiêu chí của đạo hàm thứ hai, chúng ta có thể biết liệu một số tới hạn của hàm là cực đại hay cực tiểu cục bộ, mà không cần phải xem dấu hiệu của hàm đó là gì trong các khoảng thời gian nói trên.

Tiêu chí đạo hàm thứ hai cho chúng ta biết rằng nếu f '(c) = 0 và f' '(x) liên tục trong (a, b), thì điều đó xảy ra nếu f' '(c)> 0 thì f (c) là mức tối thiểu cục bộ và nếu f '' (c) <0 thì f (c) là mức tối đa cục bộ.

Nếu f '' (c) = 0, chúng tôi không thể kết luận bất cứ điều gì.

Ví dụ

Cho hàm số f (x) = x4 + (4/3) x3 - 4x2, tìm cực đại và cực tiểu tương đối của f bằng cách áp dụng tiêu chí của đạo hàm cấp hai.

Đầu tiên chúng ta tính f '(x) và f' '(x) và chúng ta có:

f '(x) = 4x3 + 4x2 - 8 x

f '' (x) = 12x2 + 8 - 8

Bây giờ, f '(x) = 0 nếu và chỉ khi 4x (x + 2) (x - 1) = 0 và điều này xảy ra khi x = 0, x = 1 hoặc ox = - 2.

Để xác định xem các số quan trọng thu được có cực trị tương đối hay không, đủ để đánh giá trong f '' và do đó quan sát dấu hiệu của nó.

f '' (0) = - 8, vì vậy f (0) là mức tối đa cục bộ.

f '' (1) = 12, vì vậy f (1) là mức tối thiểu cục bộ.

f '' (- 2) = 24, vì vậy f (- 2) là mức tối thiểu cục bộ.

Loạt Taylor

Đặt f là hàm được định nghĩa như sau:

Hàm này có bán kính hội tụ R> 0 và có đạo hàm của tất cả các đơn hàng trong (-R, R). Các dẫn xuất liên tiếp của f cung cấp cho chúng tôi:

Lấy x = 0, chúng ta có thể nhận được các giá trị của c _n như là một hàm của các đạo hàm của nó như sau:

Nếu chúng ta lấy an = 0 làm hàm f (nghĩa là f ^ 0 = f), thì chúng ta có thể viết lại hàm như sau:

Bây giờ hãy xem xét hàm như một chuỗi các lũy thừa trong x = a:

Nếu chúng ta thực hiện phân tích tương tự như trước, chúng ta sẽ phải viết hàm f là:

Những loạt này được gọi là loạt Taylor của f trong a. Khi a = 0, chúng ta có trường hợp cụ thể được gọi là chuỗi Maclaurin. Loại sê-ri này có tầm quan trọng toán học lớn, đặc biệt là trong phân tích số, vì nhờ chúng, chúng ta có thể định nghĩa các hàm trong các máy tính như ex, sin (x) và cos (x).