Phương trình đa thức (với bài tập đã giải)
Các phương trình đa thức là một tuyên bố làm tăng sự bình đẳng của hai biểu thức hoặc thành viên, trong đó ít nhất một trong các thuật ngữ tạo nên mỗi cạnh của đẳng thức là đa thức P (x). Các phương trình này được đặt tên theo mức độ của các biến.
Nói chung, một phương trình là một câu lệnh thiết lập sự bằng nhau của hai biểu thức, trong đó ít nhất một trong số chúng có các đại lượng chưa biết, được gọi là biến hoặc ẩn số. Mặc dù có nhiều loại phương trình, nhưng chúng thường được phân thành hai loại: đại số và siêu việt.
Các phương trình đa thức chỉ chứa các biểu thức đại số, có thể có một hoặc nhiều ẩn số liên quan đến phương trình. Theo cấp số nhân (cấp), họ có thể được phân thành: mức độ thứ nhất (tuyến tính), mức độ thứ hai (bậc hai), mức độ thứ ba (khối), mức độ thứ tư (bậc bốn), lớn hơn hoặc bằng năm và không hợp lý.
Các tính năng
Phương trình đa thức là các biểu thức được hình thành bởi sự bằng nhau giữa hai đa thức; nghĩa là, bằng các tổng hữu hạn của phép nhân giữa các giá trị không xác định (biến) và số cố định (hệ số), trong đó các biến có thể có số mũ và giá trị của chúng có thể là một số nguyên dương, bao gồm 0.
Các số mũ xác định mức độ hoặc loại phương trình. Thuật ngữ đó của biểu thức có số mũ có giá trị cao nhất sẽ biểu thị mức độ tuyệt đối của đa thức.
Phương trình đa thức còn được gọi là đại số, hệ số của chúng có thể là số thực hoặc số phức và biến là số chưa biết được biểu thị bằng một chữ cái, chẳng hạn như "x".
Nếu thay thế một giá trị bằng biến "x" trong P (x) thì kết quả bằng 0 (0), thì người ta nói rằng giá trị này thỏa mãn phương trình (nó là một giải pháp) và thường được gọi là gốc của đa thức.
Khi một phương trình đa thức được phát triển, bạn muốn tìm tất cả các gốc hoặc giải pháp.
Các loại
Có một số loại phương trình đa thức, được phân biệt theo số lượng biến, và cũng theo mức độ của số mũ của chúng.
Do đó, các phương trình đa thức - trong đó thuật ngữ thứ nhất là một đa thức chỉ có một ẩn số, xem xét mức độ của nó có thể là bất kỳ số tự nhiên nào (n) và số hạng thứ hai bằng 0, có thể được biểu thị như sau:
a n * xn + a n-1 * xn-1 + ... + a 1 * x1 + a 0 * x 0 = 0
Ở đâu:
- a n, a n-1 và 0, là các hệ số thực (số).
- a n khác 0.
- Số mũ n là số nguyên dương biểu thị mức độ của phương trình.
- x là biến hoặc không xác định phải được tìm kiếm.
Mức độ tuyệt đối hoặc lớn hơn của một phương trình đa thức là số mũ có giá trị lớn hơn trong số tất cả những người tạo thành đa thức; theo cách đó, các phương trình được phân loại là:
Lớp một
Các phương trình đa thức bậc nhất, còn được gọi là phương trình tuyến tính, là các phương trình trong đó mức độ (số mũ lớn nhất) bằng 1, đa thức có dạng P (x) = 0; và nó bao gồm một thuật ngữ tuyến tính và một thuật ngữ độc lập. Nó được viết như sau:
rìu + b = 0.
Ở đâu:
- a và b là các số thực đã 0.
- ax là thuật ngữ tuyến tính.
- b là thuật ngữ độc lập.
Ví dụ: phương trình 13x - 18 = 4x.
Để giải các phương trình tuyến tính, tất cả các thuật ngữ chứa x chưa biết phải được truyền vào một phía của đẳng thức và các thuật ngữ không có cùng một động thái sang phía bên kia, để xóa nó và có được một giải pháp:
13x - 18 = 4x
13x = 4x + 18
13x - 4x = 18
9x = 18
x = 18 9
x = 2
Theo cách đó, phương trình đã cho có một nghiệm hoặc gốc duy nhất, đó là x = 2.
Lớp hai
Các phương trình đa thức bậc hai, còn được gọi là phương trình bậc hai, là các phương trình trong đó mức độ (số mũ lớn nhất) bằng 2, đa thức có dạng P (x) = 0, và bao gồm một số hạng bậc hai, một tuyến tính và một độc lập. Nó được thể hiện như sau:
ax2 + bx + c = 0.
Ở đâu:
- a, b và c là các số thực đã ≠ 0.
- ax2 là số hạng bậc hai và "a" là hệ số của số hạng bậc hai.
- bx là thuật ngữ tuyến tính và "b" là hệ số của thuật ngữ tuyến tính.
- c là thuật ngữ độc lập.
Giải quyết
Nói chung, giải pháp cho loại phương trình này được đưa ra bằng cách xóa x khỏi phương trình, và nó được để lại như sau, được gọi là bộ giải:
Ở đó, (b2 - 4ac) được gọi là phân biệt của phương trình và biểu thức này xác định số lượng các giải pháp mà phương trình có thể có:
- Nếu (b2 - 4ac) = 0, phương trình sẽ có một nghiệm duy nhất là gấp đôi; đó là bạn sẽ có hai giải pháp bằng nhau
- Nếu (b2 - 4ac)> 0, phương trình sẽ có hai nghiệm thực khác nhau.
- Nếu (b2 - 4ac) <0, phương trình không có nghiệm (nó sẽ có hai nghiệm phức khác nhau).
Ví dụ: chúng ta có phương trình 4x2 + 10x - 6 = 0, để giải quyết nó, trước tiên chúng ta xác định các thuật ngữ a, b và c, sau đó thay thế nó trong công thức:
a = 4
b = 10
c = -6.
Có những trường hợp trong đó phương trình đa thức bậc hai không có ba số hạng và đó là lý do tại sao chúng được giải khác nhau:
- Trong trường hợp các phương trình bậc hai không có số hạng tuyến tính (nghĩa là b = 0), phương trình sẽ được biểu thị dưới dạng ax2 + c = 0. Để giải nó, x2 bị xóa và căn bậc hai được áp dụng trong mỗi thành viên, ghi nhớ cần được coi là hai dấu hiệu có thể có ẩn danh:
ax2 + c = 0.
x2 = - c ÷ a
Ví dụ: 5 x2 - 20 = 0.
5 x2 = 20
x2 = 20 5
x = ± 4
x = ± 2
x 1 = 2
x 2 = -2
- Khi phương trình bậc hai không có số hạng độc lập (nghĩa là c = 0), phương trình sẽ được biểu thị dưới dạng ax2 + bx = 0. Để giải nó, chúng ta phải trích xuất thừa số chung của x chưa biết trong thành viên đầu tiên; vì phương trình bằng 0, nên có ít nhất một trong các yếu tố sẽ bằng 0:
ax2 + bx = 0.
x (ax + b) = 0.
Theo cách đó, bạn phải:
x = 0
x = -b a.
Ví dụ: bạn có phương trình 5x2 + 30x = 0. Yếu tố đầu tiên:
5x2 + 30x = 0
x (5x + 30) = 0.
Hai yếu tố được tạo ra là xy (5x + 30). Nó được coi là một trong số này sẽ bằng 0 và giải pháp khác sẽ được đưa ra:
x 1 = 0
5x + 30 = 0
5x = -30
x = -30 5
x 2 = -6.
Bằng cấp chính
Các phương trình đa thức của mức độ lớn hơn là các phương trình đi từ mức độ thứ ba trở đi, có thể được biểu thị hoặc giải quyết với phương trình đa thức chung cho bất kỳ mức độ nào:
a n * xn + a n-1 * xn-1 + ... + a 1 * x1 + a 0 * x 0 = 0
Điều này được sử dụng bởi vì một phương trình có độ lớn hơn hai là kết quả của hệ số của một đa thức; đó là, nó được biểu thị dưới dạng phép nhân của đa thức bậc một hoặc lớn hơn, nhưng không có gốc thực sự.
Giải pháp của loại phương trình này là trực tiếp, bởi vì phép nhân của hai yếu tố sẽ bằng 0 nếu bất kỳ yếu tố nào là null (0); do đó, mỗi phương trình đa thức tìm thấy phải được giải quyết, bằng với mỗi yếu tố của nó bằng không.
Ví dụ: bạn có phương trình bậc ba (khối) x3 + x2 + 4x + 4 = 0. Để giải nó, bạn phải làm theo các bước sau:
- Các điều khoản được nhóm lại:
x3 + x2 + 4x + 4 = 0
(x3 + x2) + (4x + 4) = 0.
- Các thành viên được chia nhỏ để có được yếu tố chung của ẩn số:
x2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0
(x2 + 4) * (x + 1) = 0.
- Theo cách này, hai yếu tố thu được, phải bằng 0:
(x2 + 4) = 0
(x + 1) = 0.
- Có thể thấy rằng yếu tố (x2 + 4) = 0 sẽ không có giải pháp thực sự, trong khi yếu tố (x + 1) = 0 thì có. Do đó, giải pháp là:
(x + 1) = 0
x = -1
Bài tập đã giải quyết
Giải các phương trình sau:
Bài tập đầu tiên
(2x2 + 5) * (x - 3) * (1 + x) = 0.
Giải pháp
Trong trường hợp này phương trình được biểu diễn dưới dạng phép nhân của đa thức; đó là, nó là bao thanh toán Để giải quyết nó, mỗi yếu tố phải bằng không:
- 2x2 + 5 = 0, không có giải pháp.
- x - 3 = 0
- x = 3
- 1 + x = 0
- x = - 1.
Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 3 và x = -1.
Bài tập thứ hai
x4 - 36 = 0
Giải pháp
Nó đã được đưa ra một đa thức, có thể được viết lại như là một sự khác biệt của hình vuông để đi đến một giải pháp nhanh hơn. Do đó, phương trình vẫn là:
(x2 + 6) * (x2 - 6) = 0.
Để tìm nghiệm của phương trình, cả hai yếu tố đều bằng không:
(x2 + 6) = 0, không có giải pháp.
(x2 - 6) = 0
x2 = 6
x = ± 6.
Do đó, phương trình ban đầu có hai nghiệm:
x = √6.
x = - 6.
