Hình học phân tích: những gì nghiên cứu, lịch sử, ứng dụng
Hình học phân tích nghiên cứu các đường và hình hình học bằng cách áp dụng các kỹ thuật đại số cơ bản và phân tích toán học trong một hệ tọa độ cụ thể.
Do đó, hình học phân tích là một nhánh của toán học phân tích chi tiết tất cả dữ liệu của các hình hình học, nghĩa là thể tích, góc, diện tích, điểm giao nhau, khoảng cách của chúng, trong số những thứ khác.
Đặc tính cơ bản của hình học phân tích là nó cho phép biểu diễn các hình hình học thông qua các công thức.
Ví dụ, các vòng tròn được biểu diễn bằng các phương trình đa thức của mức độ thứ hai trong khi các đường được thể hiện với các phương trình đa thức của mức độ đầu tiên.
Hình học phân tích xuất hiện vào thế kỷ XVII bởi nhu cầu đưa ra câu trả lời cho các vấn đề mà cho đến nay vẫn chưa có giải pháp. Ông đã từng là đại diện hàng đầu René Descartes và Pierre de Fermat.
Hiện nay, nhiều tác giả đã chỉ ra nó như một sáng tạo mang tính cách mạng trong lịch sử toán học, vì nó đại diện cho sự khởi đầu của toán học hiện đại.
Lịch sử hình học phân tích
Thuật ngữ hình học giải tích phát sinh ở Pháp vào thế kỷ XVII do cần đưa ra câu trả lời cho các vấn đề không thể giải quyết bằng cách sử dụng đại số và hình học, nhưng giải pháp là sử dụng kết hợp cả hai.
Đại diện chính của hình học phân tích
Trong thế kỷ XVII, hai người Pháp, tình cờ sống, đã thực hiện các cuộc điều tra rằng bằng cách này hay cách khác đã kết thúc trong việc tạo ra hình học phân tích. Những người này là Pierre de Fermat và René Descartes.
Hiện tại người ta coi người tạo ra hình học phân tích là René Descartes. Điều này là do ông đã xuất bản cuốn sách của mình trước đó về Fermat và cũng đi sâu vào vấn đề của Descartes với chủ đề hình học phân tích.
Tuy nhiên, cả Fermat và Descartes đều phát hiện ra rằng các đường và hình hình học có thể được biểu thị bằng các phương trình và phương trình có thể được biểu thị dưới dạng đường hoặc hình hình học.
Theo những khám phá của hai người, có thể nói rằng cả hai đều là người tạo ra hình học phân tích.
Pierre de Fermat
Pierre de Fermat là một nhà toán học người Pháp sinh năm 1601 và mất năm 1665. Trong suốt cuộc đời, ông đã nghiên cứu hình học của Euclid, Apollonius và Pappus, để giải quyết các vấn đề đo lường tồn tại vào thời điểm đó.
Sau đó, những nghiên cứu này đã giải phóng việc tạo ra hình học. Cuối cùng, chúng được thể hiện trong cuốn sách " Giới thiệu về những nơi bằng phẳng và vững chắc " (Ad Locos Planes et Solidos Isagoge), được xuất bản 14 năm sau khi ông qua đời năm 1679.
Pierre de Fermat đã áp dụng vào năm 1623 hình học phân tích cho các định lý của Apollonius trên các vị trí hình học. Đó cũng là người lần đầu tiên áp dụng hình học phân tích vào không gian ba chiều.
René Descartes
Còn được gọi là Cartesius là một nhà toán học, nhà vật lý và triết gia sinh ngày 31 tháng 3 năm 1596 tại Pháp và qua đời vào năm 1650.
René Descartes xuất bản năm 1637 cuốn sách " Diễn ngôn về phương pháp lái xe đúng đắn và tìm kiếm sự thật trong khoa học " được gọi là " Phương pháp " và từ đó thuật ngữ hình học phân tích đã được giới thiệu với thế giới. Một trong những phụ lục của nó là "Hình học".
Các yếu tố cơ bản của hình học phân tích
Hình học phân tích được tạo thành từ các yếu tố sau:
Hệ tọa độ Descartes
Hệ thống này được đặt tên theo René Descartes.
Không phải ông là người đặt tên cho ông, cũng không phải là người đã hoàn thành hệ tọa độ Descartes, nhưng ông là người nói về tọa độ với số dương cho phép các học giả tương lai hoàn thành nó.
Hệ thống này bao gồm hệ tọa độ hình chữ nhật và hệ tọa độ cực.
Hệ tọa độ hình chữ nhật
Nó được gọi là hệ tọa độ hình chữ nhật với mặt phẳng được hình thành bởi đường thẳng của hai đường thẳng vuông góc, trong đó điểm cắt trùng với 0 chung.
Sau đó, hệ thống này sẽ được tuân thủ bởi một đường ngang và dọc.
Đường ngang là trục của X hoặc trục của abscissa. Đường thẳng đứng sẽ là trục của Y hoặc trục của tọa độ.
Hệ tọa độ cực
Hệ thống này chịu trách nhiệm xác minh vị trí tương đối của một điểm liên quan đến một đường cố định và một điểm cố định trên đường thẳng.
Phương trình Descartes của đường thẳng
Phương trình này được lấy từ một dòng khi hai điểm được biết nơi nó đi qua.
Đường thẳng
Nó không bị lệch và do đó không có đường cong hoặc góc.
Conics
Chúng là các đường cong được xác định bởi các đường thẳng đi qua một điểm cố định và các điểm của một đường cong.
Hình elip, chu vi, parabol và hyperbola là những đường cong hình nón. Mỗi người trong số họ được mô tả dưới đây.
Chu vi
Nó được gọi là chu vi với đường cong phẳng khép kín được hình thành bởi tất cả các điểm của mặt phẳng cách đều của một điểm bên trong, nghĩa là, về tâm của chu vi.
Parabola
Đó là quỹ tích của các điểm của mặt phẳng cách đều từ một điểm cố định (tiêu điểm) và một đường cố định (directrix). Sau đó, hướng dẫn và trọng tâm là những gì xác định dụ ngôn.
Parabola có thể thu được như một phần của bề mặt hình nón của một cuộc cách mạng bằng một mặt phẳng song song với một tướng.
Hình elip
Một hình elip được gọi là đường cong kín mô tả một điểm khi di chuyển trong mặt phẳng theo cách sao cho tổng khoảng cách của nó đến hai (2) điểm cố định (gọi là foci) không đổi.
Hyperbola
Hyperbola là đường cong được định nghĩa là quỹ tích của các điểm trên mặt phẳng, trong đó chênh lệch giữa khoảng cách của hai điểm cố định (tiêu điểm) là không đổi.
Hyperbola có một trục đối xứng đi qua tiêu điểm, được gọi là trục tiêu cự. Nó cũng có một thứ khác là mediatrix của đoạn có các điểm cố định theo cực trị.
Ứng dụng
Có nhiều ứng dụng khác nhau của hình học phân tích trong các lĩnh vực khác nhau của cuộc sống hàng ngày. Ví dụ, chúng ta có thể tìm thấy parabola, một trong những yếu tố cơ bản của hình học phân tích, trong nhiều công cụ được sử dụng hàng ngày hiện nay. Một số công cụ sau đây là:
Đĩa vệ tinh
Các ăng-ten parabol có một gương phản xạ được tạo ra do hậu quả của một parabol xoay trên trục của ăng-ten nói trên. Bề mặt được tạo ra do kết quả của hành động này được gọi là paraboloid.
Khả năng này của paraboloid được gọi là thuộc tính quang học hoặc thuộc tính phản xạ của parabola, và nhờ đó, có thể paraboloid phản xạ sóng điện từ mà nó nhận được từ cơ chế cấp liệu tạo ra ăng ten.
Cầu treo
Khi một sợi dây giữ một trọng lượng đồng nhất nhưng đồng thời, lớn hơn đáng kể so với trọng lượng của chính sợi dây, kết quả sẽ là một parabola.
Nguyên tắc này là cơ bản để xây dựng các cây cầu treo, thường được hỗ trợ bởi các cấu trúc lớn của cáp thép.
Nguyên tắc của parabola trong các cây cầu treo đã được sử dụng trong các cấu trúc như Cầu Cổng Vàng, nằm ở thành phố San Francisco, Hoa Kỳ hoặc Cầu Lớn của Eo biển Akashi, nằm ở Nhật Bản và nối liền Đảo Awaji với Honshū, hòn đảo chính của đất nước đó.
Phân tích thiên văn
Hình học phân tích cũng đã có những ứng dụng rất cụ thể và xác định trong lĩnh vực thiên văn học. Trong trường hợp này, yếu tố của hình học giải tích chiếm sân khấu trung tâm là hình elip; Định luật về sự chuyển động của các hành tinh của Julian Kepler là sự phản ánh điều đó.
Kepler, nhà toán học và nhà thiên văn học người Đức, đã xác định rằng hình elip là đường cong phù hợp với sự chuyển động của Sao Hỏa tốt hơn; trước đây ông đã thử mô hình tròn do Copernicus đề xuất, nhưng giữa các thí nghiệm của mình, ông đã suy luận rằng hình elip phục vụ để vẽ một quỹ đạo hoàn toàn giống với hành tinh mà ông nghiên cứu.
Nhờ hình elip, Kepler có thể khẳng định rằng các hành tinh chuyển động theo quỹ đạo hình elip; sự xem xét này là sự ban hành của cái gọi là luật thứ hai của Kepler.
Từ khám phá này, sau đó được làm giàu bởi nhà vật lý và toán học người Anh Isaac Newton, có thể nghiên cứu các chuyển động quỹ đạo của các hành tinh và để tăng kiến thức mà chúng ta có về vũ trụ mà chúng ta là một phần.
Kính thiên văn Cassegrain
Kính thiên văn Cassegrain được đặt theo tên của nhà phát minh của nó, nhà vật lý gốc Pháp Laurent Cassegrain. Trong kính thiên văn này, các nguyên tắc của hình học phân tích được sử dụng vì nó chủ yếu bao gồm hai gương: thứ nhất là lõm và parabol, và thứ hai được đặc trưng bởi lồi và hyperbol.
Vị trí và tính chất của các gương này cho phép khuyết tật được gọi là quang sai hình cầu không xảy ra; khiếm khuyết này ngăn các tia sáng bị phản xạ trong tiêu cự của một thấu kính nhất định.
Kính thiên văn Cassegrain rất hữu ích cho việc quan sát hành tinh, cũng như khá linh hoạt và dễ điều khiển.
