Đại số vectơ: Cơ bản, Tầm quan trọng, Vectơ

Đại số vectơ là một nhánh của toán học chịu trách nhiệm nghiên cứu các hệ phương trình tuyến tính, vectơ, ma trận, không gian vectơ và các phép biến đổi tuyến tính của chúng. Nó liên quan đến các lĩnh vực như kỹ thuật, giải quyết các phương trình vi phân, phân tích chức năng, nghiên cứu hoạt động, đồ họa máy tính, trong số những người khác.

Một lĩnh vực khác đã áp dụng đại số tuyến tính là vật lý, bởi vì thông qua đó đã được phát triển để nghiên cứu các hiện tượng vật lý, mô tả chúng thông qua việc sử dụng các vectơ. Điều này đã làm cho có thể hiểu rõ hơn về vũ trụ.

Khái niệm cơ bản

Đại số vectơ bắt nguồn từ nghiên cứu các bậc bốn (mở rộng số thực) 1, i, j và k, cũng như hình học Cartesian được thúc đẩy bởi Gibbs và Heaviside, người đã nhận ra rằng vectơ sẽ phục vụ như một công cụ cho đại diện cho các hiện tượng vật lý khác nhau.

Đại số vectơ được nghiên cứu thông qua ba nền tảng:

Hình học

Các vectơ được biểu diễn bằng các đường có định hướng và các phép toán như cộng, trừ và nhân với số thực được xác định thông qua các phương pháp hình học.

Phân tích

Việc mô tả các vectơ và các hoạt động của chúng được thực hiện với các số, được gọi là các thành phần. Loại mô tả này là kết quả của biểu diễn hình học vì một hệ tọa độ được sử dụng.

Tiên đề

Một mô tả về các vectơ được thực hiện, độc lập với hệ tọa độ hoặc bất kỳ loại biểu diễn hình học nào.

Việc nghiên cứu các số liệu trong không gian được thực hiện thông qua sự thể hiện của chúng trong một hệ quy chiếu, có thể ở một hoặc nhiều chiều. Trong số các hệ thống chính là:

- Hệ thống một chiều, là một đường trong đó một điểm (O) đại diện cho điểm gốc và một điểm khác (P) xác định tỷ lệ (chiều dài) và hướng của nó:

- Hệ tọa độ hình chữ nhật (hai chiều), bao gồm hai đường vuông góc gọi là trục x và trục y, đi qua gốc điểm (O); theo cách này, mặt phẳng được chia thành bốn vùng được gọi là góc phần tư. Trong trường hợp này, một điểm (P) trong mặt phẳng được cho bởi khoảng cách tồn tại giữa các trục và P.

- Hệ tọa độ cực (hai chiều). Trong trường hợp này, hệ thống bao gồm một điểm O (gốc) được gọi là cực và tia có gốc O gọi là trục cực. Trong trường hợp này, điểm P của mặt phẳng, với tham chiếu đến cực và trục cực, được cho bởi góc (), được hình thành bởi khoảng cách giữa điểm gốc và điểm P.

- Hệ thống ba chiều hình chữ nhật, được hình thành bởi ba đường thẳng vuông góc (x, y, z) có gốc điểm O trong không gian. Ba mặt phẳng tọa độ được hình thành: xy, xz và yz; không gian sẽ được chia thành tám khu vực được gọi là octants. Tham chiếu điểm P của không gian được cho bởi khoảng cách tồn tại giữa các mặt phẳng và P.

Tầm quan trọng

Độ lớn là một đại lượng vật lý có thể được tính hoặc đo thông qua một giá trị số, như trong trường hợp của một số hiện tượng vật lý; tuy nhiên, thường là cần thiết để có thể mô tả các hiện tượng này với các yếu tố khác không phải là số. Đó là lý do tại sao các cường độ được phân thành hai loại:

Độ lớn vô hướng

Chúng là những đại lượng được xác định và biểu diễn bằng số; nghĩa là, bằng một mô-đun cùng với một đơn vị đo lường. Ví dụ:

a) Thời gian: 5 giây.

b) Khối lượng: 10 kg.

c) Thể tích: 40 ml.

d) Nhiệt độ: 40 ºC.

Độ lớn vectơ

Chúng là những đại lượng được xác định và đại diện bởi một mô-đun cùng với một đơn vị, cũng như theo ý nghĩa và hướng. Ví dụ:

a) Tốc độ: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Gia tốc: 13 m / s2; S 45º E.

c) Lực: 280 N, 120 ..

d) Trọng lượng: -40 kg-f.

Độ lớn của vectơ được biểu thị bằng đồ họa của vectơ.

Vectơ là gì?

Các vectơ là biểu diễn đồ họa của cường độ vectơ; điều đó có nghĩa là, chúng là các đoạn thẳng, trong đó điểm cuối cùng của chúng là đầu mũi tên.

Chúng được xác định bởi mô-đun hoặc chiều dài phân đoạn của nó, ý nghĩa của nó được biểu thị bằng đầu mũi tên và hướng của nó theo dòng mà nó thuộc về. Nguồn gốc của một vectơ còn được gọi là điểm ứng dụng.

Các yếu tố của một vectơ như sau:

Mô-đun

Đó là khoảng cách từ điểm gốc đến điểm cuối của một vectơ, được biểu thị bằng một số thực cùng với một đơn vị. Ví dụ:

| OM | = | A | = A = 6 cm

Địa chỉ

Nó là số đo của góc giữa trục x (từ cực dương) và vectơ, cũng như các điểm chính (bắc, nam, đông và tây).

Ý thức

Nó được đưa ra bởi đầu mũi tên nằm ở cuối của vectơ, cho biết nơi nó đang hướng tới.

Phân loại vectơ

Nói chung, vectơ được phân loại là:

Vectơ cố định

Đây là điểm có điểm ứng dụng (nguồn gốc) cố định; điều đó có nghĩa là, nó vẫn bị ràng buộc với một điểm của không gian, lý do tại sao nó không thể bị dịch chuyển trong cái này.

Vectơ miễn phí

Nó có thể di chuyển tự do trong không gian vì nguồn gốc của nó di chuyển đến bất kỳ điểm nào mà không thay đổi mô-đun, ý nghĩa hoặc hướng của nó.

Vectơ trượt

Nó là cái có thể di chuyển nguồn gốc của nó dọc theo dòng hành động của nó mà không thay đổi mô-đun, hướng hoặc hướng của nó.

Thuộc tính vectơ

Trong số các tính chất chính của vectơ là:

Vectơ Equipolentes

Chúng là những vectơ tự do có cùng mô-đun, hướng (hoặc chúng song song) và có nghĩa là một vectơ trượt hoặc một vectơ cố định.

Vectơ tương đương

Nó xảy ra khi hai vectơ có cùng hướng (hoặc song song), cùng một ý nghĩa và mặc dù có các mô-đun và điểm ứng dụng khác nhau, chúng gây ra các hiệu ứng giống nhau.

Bình đẳng của vectơ

Chúng có cùng mô-đun, hướng và ý nghĩa, mặc dù điểm bắt đầu của chúng khác nhau, cho phép một vectơ song song tự di chuyển mà không ảnh hưởng đến nó.

Đối diện vectơ

Chúng là những cái có cùng mô-đun và hướng, nhưng ý nghĩa của chúng là ngược lại.

Đơn vị vector

Đây là một trong đó mô-đun bằng với đơn vị (1). Điều này có được bằng cách chia vectơ cho mô-đun của nó và được sử dụng để xác định hướng và ý nghĩa của vectơ, trong mặt phẳng hoặc trong không gian, sử dụng các vectơ chuẩn hóa cơ sở hoặc đơn vị hóa, đó là:

Véc tơ

Nó là mô đun có mô đun bằng 0; đó là, điểm gốc và điểm cuối của chúng trùng nhau trong cùng một điểm.

Các thành phần của một vectơ

Các thành phần của một vectơ là những giá trị của các hình chiếu của vectơ trên các trục của hệ quy chiếu; Tùy thuộc vào sự phân rã của vectơ, có thể theo trục hai hoặc ba chiều, hai hoặc ba thành phần sẽ được lấy tương ứng.

Các thành phần của một vectơ là các số thực, có thể là số dương, âm hoặc thậm chí bằng 0 (0).

Do đó, nếu chúng ta có một vectơ, bắt nguồn từ hệ tọa độ hình chữ nhật trong mặt phẳng xy (hai chiều), hình chiếu trên trục x là Āx và hình chiếu trên trục y là Āy. Do đó, vectơ sẽ được biểu thị dưới dạng tổng của các vectơ thành phần.

Ví dụ

Ví dụ đầu tiên

Chúng ta có một vectơ bắt đầu từ điểm gốc và tọa độ các đầu của nó được đưa ra. Do đó, vectơ Ā = (Ā _x ; A _y ) = (4; 5) cm.

Nếu vectơ Ā hoạt động tại điểm gốc của hệ tọa độ tam giác ba chiều (trong không gian) x, y, z, đến một điểm khác (P), các hình chiếu trên trục của nó sẽ là Āx, y và Āz; do đó, vectơ sẽ được biểu diễn dưới dạng tổng của ba vectơ thành phần.

Ví dụ thứ hai

Chúng ta có một vectơ bắt đầu từ điểm gốc và tọa độ các đầu của nó được đưa ra. Do đó, vectơ Ā = (A _x ; A _y; A _z ) = (4; 6; -3) cm.

Các vectơ có tọa độ hình chữ nhật của chúng có thể được biểu thị theo các vectơ cơ sở của chúng. Vì thế, chỉ mỗi tọa độ phải được nhân với vectơ đơn vị tương ứng của nó, theo cách sao cho mặt phẳng và không gian chúng sẽ như sau:

Cho mặt phẳng: = A _x i + A _và j.

Đối với không gian: = A _x i + A _và j + A _z k.

Hoạt động với vectơ

Có nhiều cường độ có một mô-đun, cảm giác và hướng, chẳng hạn như gia tốc, tốc độ, chuyển vị, lực, trong số những người khác.

Chúng được áp dụng trong các lĩnh vực khoa học khác nhau và để áp dụng chúng trong một số trường hợp cần thực hiện các thao tác như cộng, trừ, nhân và chia vectơ và vô hướng.

Phép cộng và phép trừ của vectơ

Phép cộng và phép trừ của vectơ được coi là một phép toán đại số đơn vì phép trừ có thể được viết dưới dạng tổng; ví dụ, phép trừ của vectơ và có thể được biểu diễn dưới dạng:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Có các phương pháp khác nhau để thực hiện phép cộng và phép trừ của vectơ: chúng có thể là đồ họa hoặc phân tích.

Phương pháp đồ họa

Được sử dụng khi một vectơ có một mô-đun, ý nghĩa và hướng. Để làm điều này, các dòng được vẽ tạo thành một hình mà sau đó giúp xác định kết quả. Trong số những người nổi tiếng nhất, nổi bật sau đây:

Phương pháp hình bình hành

Để thực hiện phép cộng hoặc trừ của hai vectơ, một điểm được chọn chung trên trục tọa độ - trong đó sẽ biểu thị điểm gốc của vectơ-, duy trì mô đun, hướng và hướng của nó.

Sau đó các đường được vẽ song song với các vectơ để tạo thành hình bình hành. Vectơ kết quả là đường chéo rời khỏi điểm gốc của cả hai vectơ cho đến đỉnh của hình bình hành:

Phương pháp tam giác

Trong phương pháp này, các vectơ được đặt cạnh nhau, duy trì các mô-đun, hướng và hướng của chúng. Vectơ kết quả sẽ là sự kết hợp của nguồn gốc của vectơ thứ nhất với phần cuối của vectơ thứ hai:

Phương pháp phân tích

Bạn có thể thêm hoặc trừ hai hoặc nhiều vectơ thông qua phương pháp hình học hoặc vectơ:

Phương pháp hình học

Khi hai vectơ tạo thành một hình tam giác hoặc hình bình hành, mô đun và hướng của vectơ kết quả có thể được xác định bằng cách sử dụng các định luật sin và cos. Do đó, mô-đun của vectơ kết quả, áp dụng định luật cosin và phương pháp tam giác, được đưa ra bởi:

Trong công thức này là góc đối diện với cạnh R và giá trị này bằng 180º -.

Ngược lại, bằng phương pháp hình bình hành, mô-đun vector kết quả là:

Hướng của vectơ kết quả được cho bởi góc (α), tạo thành kết quả với một trong các vectơ.

Theo định luật sin, việc cộng hoặc trừ các vectơ cũng có thể được thực hiện bằng phương pháp tam giác hoặc hình bình hành, biết rằng trong mỗi tam giác các cạnh đều tỷ lệ với ngực của các góc:

Phương pháp vectơ

Điều này có thể được thực hiện theo hai cách: tùy thuộc vào tọa độ hình chữ nhật hoặc vectơ cơ sở của chúng.

Nó có thể được thực hiện bằng cách chuyển các vectơ sẽ được thêm hoặc trừ vào gốc tọa độ, và sau đó tất cả các hình chiếu trên mỗi trục cho mặt phẳng (x, y) hoặc dấu cách (x, và, z); cuối cùng, các thành phần của nó được thêm vào đại số. Vì vậy, đối với máy bay là:

Mô-đun của vectơ kết quả là:

Trong khi đối với không gian, nó là:

Mô-đun của vectơ kết quả là:

Khi thực hiện tổng vector, một số thuộc tính được áp dụng, đó là:

- Thuộc tính liên kết: kết quả không thay đổi khi thêm hai vectơ trước, sau đó thêm vectơ thứ ba.

- Tính chất giao hoán: thứ tự của các vectơ không làm thay đổi kết quả.

- Thuộc tính phân phối vectơ: nếu một vô hướng được nhân với tổng của hai vectơ, nó bằng với phép nhân của vô hướng cho mỗi vectơ.

- Thuộc tính phân phối vô hướng: nếu một vectơ được nhân với tổng của hai vô hướng, thì nó bằng với phép nhân của vectơ cho mỗi vô hướng.

Phép nhân vectơ

Phép nhân hoặc tích của vectơ có thể được thực hiện dưới dạng phép cộng hoặc phép trừ, nhưng khi làm như vậy, nó làm mất ý nghĩa vật lý và gần như không bao giờ được tìm thấy trong các ứng dụng. Vì lý do này, các loại sản phẩm được sử dụng phổ biến nhất là sản phẩm vô hướng và véc tơ.

Sản phẩm vô hướng

Nó cũng được biết đến như là một sản phẩm chấm của hai vectơ. Khi các mô-đun của hai vectơ được nhân với cosin của góc nhỏ được hình thành giữa chúng, sẽ thu được một vô hướng. Để đặt một sản phẩm vô hướng giữa hai vectơ, một điểm được đặt giữa chúng và điều này có thể được định nghĩa là:

Giá trị của góc tồn tại giữa hai vectơ sẽ phụ thuộc vào việc chúng song song hay vuông góc; Vì vậy, bạn phải:

- Nếu các vectơ song song và có cùng ý nghĩa, cosin 0º = 1.

- Nếu các vectơ song song và có các giác quan ngược nhau, cosin 180º = -1.

- Nếu các vectơ vuông góc, cosin 90º = 0.

Góc đó cũng có thể được tính khi biết rằng:

Sản phẩm vô hướng có các tính chất sau:

- Tính chất giao hoán: thứ tự của các vectơ không làm thay đổi vô hướng.

- Thuộc tính phân phối: nếu một vô hướng được nhân với tổng của hai vectơ, nó bằng với phép nhân của vô hướng cho mỗi vectơ.

Sản phẩm Vector

Phép nhân vectơ, hoặc tích chéo của hai vectơ A và B, sẽ tạo ra một vectơ C mới và được biểu thị bằng cách sử dụng một chéo giữa các vectơ:

Các vector mới sẽ có đặc điểm riêng của nó. Theo cách đó:

- Hướng: vectơ mới này sẽ vuông góc với mặt phẳng, được xác định bởi các vectơ gốc.

- Ý nghĩa: điều này được xác định theo quy tắc của bàn tay phải, trong đó vectơ A được quay về phía B bằng cách chỉ hướng quay của ngón tay và với ngón tay cái cảm giác của vectơ được đánh dấu.

- Mô-đun: được xác định bằng cách nhân các mô-đun của vectơ AxB, bởi sin của góc nhỏ nhất tồn tại giữa các vectơ này. Nó được thể hiện: