Định lý, trình diễn, ứng dụng và bài tập đã giải của Green
Định lý của Green là một phương pháp tính toán được sử dụng để liên kết các tích phân đường với tích phân diện tích hoặc diện tích kép. Các hàm liên quan phải được ký hiệu là các trường vectơ và được xác định trong quỹ đạo C.
Ví dụ, một biểu thức tích phân dòng có thể rất phức tạp để giải quyết; tuy nhiên, bằng cách thực hiện định lý Green, tích phân kép trở nên khá cơ bản. Điều quan trọng là luôn tôn trọng hướng tích cực của quỹ đạo, điều này đề cập đến hướng ngược chiều kim đồng hồ.
Định lý Green là một trường hợp cụ thể của định lý Stokes, trong đó phép chiếu của hàm vectơ được thực hiện trong mặt phẳng xy.
Định nghĩa
Biểu thức của Định lý Green là như sau:
Trong thuật ngữ đầu tiên, tích phân đường được xác định bởi đường dẫn "C" của sản phẩm vô hướng giữa hàm vectơ "F" và của vectơ "r" được quan sát.
C: Đó là đường dẫn được xác định mà hàm vectơ sẽ được chiếu miễn là nó được xác định cho mặt phẳng đó.
Hàm F: Vector, trong đó mỗi thành phần của nó được xác định bởi một hàm như vậy (f, g).
A: Nó là một vectơ tiếp tuyến với vùng R mà tích phân được xác định. Trong trường hợp này, chúng tôi hoạt động với một vi sai của vectơ này.
Trong thuật ngữ thứ hai, chúng ta thấy định lý của Green được phát triển, trong đó chúng ta quan sát tích phân kép được xác định trong vùng R về sự khác biệt của các đạo hàm riêng của gyf, tương ứng với ax và y. Đối với chênh lệch diện tích không lớn hơn sản phẩm của cả hai chênh lệch hai chiều (dx.dy).
Định lý này là hoàn toàn có thể áp dụng cho tích phân không gian và bề mặt.
Trình diễn
Để chứng minh định lý của Green một cách đơn giản, nhiệm vụ này sẽ được chia thành 2 phần. Đầu tiên chúng ta sẽ giả sử rằng hàm vectơ F chỉ có định nghĩa trong câu i. Trong khi hàm "g" tương ứng với câu j sẽ bằng 0.
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
Đầu tiên, chúng tôi đã phát triển tích phân đường trên quỹ đạo C, trong đó quỹ đạo đã được chia thành 2 phần đi trước từ a đến b và sau đó từ b đến a.
Định nghĩa của định lý cơ bản của phép tính cho tích phân xác định được áp dụng.
Biểu thức được sắp xếp lại trong một tích phân duy nhất, nó trở thành yếu tố chung cho tiêu cực và thứ tự của các yếu tố được đảo ngược.
Khi quan sát biểu thức này một cách chi tiết, rõ ràng là khi áp dụng các tiêu chí của hàm nguyên thủy, người ta có sự hiện diện của tích phân của biểu thức đạo hàm của f đối với y. Đánh giá trong các tham số
Bây giờ nó đủ để giả sử rằng hàm vectơ F chỉ được định nghĩa cho g (x, y) j . Nơi hoạt động theo cách tương tự như trường hợp trước, bạn nhận được:
Để kết thúc, hãy thực hiện 2 phần trình diễn và tham gia trong trường hợp hàm vectơ lấy giá trị cho cả hai câu. Theo cách này, nó được hiển thị dưới dạng tích phân đường sau khi được xác định và coi là quỹ đạo một chiều, nó có thể được phát triển hoàn toàn cho mặt phẳng và không gian.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
Theo cách này, định lý của Green đã được chứng minh.
Ứng dụng
Các ứng dụng của định lý Green có rất nhiều trong các ngành vật lý và toán học. Chúng mở rộng cho bất kỳ ứng dụng hoặc sử dụng nào có thể được cung cấp cho tích hợp dòng.
Công việc cơ học được thực hiện bởi một lực F thông qua quỹ đạo C, có thể được phát triển bởi tích phân đường được biểu thị dưới dạng tích phân kép của một khu vực bằng định lý Green.
Khoảnh khắc quán tính của nhiều cơ thể chịu tác động của ngoại lực tại các điểm ứng dụng khác nhau cũng đáp ứng các tích phân dòng có thể được phát triển với định lý Green.
Điều này có nhiều chức năng trong các nghiên cứu kháng thuốc của vật liệu đang được sử dụng. Trong đó các giá trị bên ngoài có thể được định lượng và tính đến trước khi phát triển các yếu tố khác nhau.
Nói chung, định lý của Green tạo điều kiện cho sự hiểu biết và định nghĩa về các khu vực nơi các hàm vectơ được xác định đối với một khu vực theo một quỹ đạo.
Lịch sử
Nó được xuất bản năm 1828 trong công trình Phân tích toán học theo các lý thuyết về điện và từ, được viết bởi nhà toán học người Anh George Green. Nó khám phá các phần khá quyết định trong ứng dụng tính toán trong vật lý, chẳng hạn như khái niệm về các hàm tiềm năng, các hàm của Green và các ứng dụng của định lý tự tựa.
George Green chính thức hóa sự nghiệp sinh viên của mình ở tuổi 40, là một nhà toán học hoàn toàn tự học cho đến bây giờ. Sau khi học tại Đại học Cambridge tiếp tục nghiên cứu của mình, đóng góp trong lĩnh vực âm học, quang học và thủy động lực học vẫn còn hiệu lực ngày nay.
Mối quan hệ với các định lý khác
Định lý Green là một trường hợp đặc biệt và phát sinh từ hai định lý rất quan trọng khác trong nhánh tính toán. Đây là định lý Kelvin-Stokes và định lý phân kỳ hoặc Gauss Ostrogradski.
Bắt đầu từ một trong những định lý này, người ta có thể đến định lý của Green. Một số định nghĩa và đề xuất là cần thiết để phát triển các cuộc biểu tình như vậy.
Bài tập
- Bài tập sau đây cho thấy cách chuyển đổi một tích phân đường thành tích phân kép đối với vùng R.
Biểu thức ban đầu là như sau:
Trường hợp các chức năng tương ứng được thực hiện afyg
f (x, y) = x3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Không có cách duy nhất để xác định giới hạn tích hợp khi áp dụng định lý Green. Nhưng có những cách tích phân sau khi được xác định có thể đơn giản hơn. Theo cách mà việc tối ưu hóa các giới hạn tích hợp đáng được chú ý.
Nơi để giải quyết các tích phân, chúng tôi nhận được:
Giá trị này tương ứng theo đơn vị khối với vùng bên dưới hàm vectơ và trên vùng tam giác được xác định bởi C.
Đối với trường hợp tích phân dòng mà không thực hiện phương thức Green, cần phải tham số hóa các hàm trong từng phần của khu vực. Đó là, thực hiện 3 tích phân tham số để phân giải. Đây là bằng chứng đầy đủ về tính hiệu quả mà Robert Green mang theo định lý của mình để tính toán.
