Biến đổi Fourier: thuộc tính, ứng dụng, ví dụ và bài tập

Biến đổi Fourier là một phương pháp thích ứng phân tích được định hướng theo các hàm tích hợp thuộc về các biến đổi tích hợp . Nó bao gồm một định nghĩa lại các hàm f (t) theo Cos (t) và Sen (t).

Các định danh lượng giác của các hàm này, cùng với các đặc tính dẫn xuất và phản kháng của chúng, phục vụ để xác định biến đổi Fourier thông qua hàm phức tạp sau:

Điều này đúng miễn là biểu thức có ý nghĩa, nghĩa là khi tích phân không đúng được hội tụ. Về mặt đại số người ta nói rằng biến đổi Fourier là một phép đồng hình tuyến tính.

Bất kỳ chức năng nào có thể được làm việc với biến đổi Fourier phải có giá trị bên ngoài một tham số đã xác định.

Thuộc tính

Biến đổi Fourier tuân thủ các thuộc tính sau:

Sự tồn tại

Để xác minh sự tồn tại của biến đổi Fourier trong hàm f (t) được xác định trong thực tế R, phải thực hiện 2 tiên đề sau:

f (t) liên tục thành từng mảnh cho tất cả R
f (t) có thể tích hợp trong R

Độ tuyến tính của phép biến đổi Fourier

Đặt M (t) và N (t) là hai hàm bất kỳ với các biến đổi Fourier được xác định, với các hằng số a và b, bất kỳ.

F [a M (t) + b N (t)] (z) = a F [M (t)] (z) + b F [N (t)] (z)

Điều này cũng dựa trên tính tuyến tính của tích phân cùng tên.

Biến đổi Fourier của một đạo hàm

Chúng ta có một hàm f liên tục và có thể tích hợp trong tất cả các thực, trong đó:

Và đạo hàm của f (f ') là liên tục và được định nghĩa thành các phần trong suốt R

Biến đổi Fourier của một đạo hàm được xác định bởi sự tích hợp bởi các phần, theo biểu thức sau:

F [f '(t)] (z) = iz F [f (t)] (z)

Trong các dẫn xuất bậc cao hơn, nó sẽ được áp dụng theo cách tương đồng, trong đó với tất cả n 1 bạn phải:

F [f n '(t)] (z) = (iz) n F [f (t)] (z)

Sự khác biệt của biến đổi Fourier

Chúng ta có một hàm f liên tục và có thể tích hợp trong tất cả các thực, trong đó:

tôi (d / dz) F [f (t)] (z) = F [t. f (t)] (z)

Biến đổi Fourier của một bản dịch

Đối với mọi thứ thuộc về một bộ S và T thuộc về bộ S ', nó phải:

F [ τ _a θ] = e-iay F [ θ] F [ τ _a T ] = e-iax F [ T]

Với _a làm toán tử dịch trên vectơ a.

Bản dịch của biến đổi Fourier

Đối với mọi thứ thuộc về một bộ S và T thuộc về bộ S ', nó phải:

τ _a F [θ] = F [e-iax . θ] _a F [T ] = F [e-iay . T]

Đối với tất cả những gì thuộc về R

Biến đổi Fourier của một nhóm quy mô

Với tất cả thuộc về tập S. T thuộc tập S '

thuộc về R - {0} bạn phải:

F [θ (λx)] = (1 / | λ |) F [θ] ( y / )

F [T (λx)] = (1 / | λ |) F [T] (y / )

Nếu f là hàm tích hợp liên tục và rõ ràng, trong đó a> 0. Sau đó:

F [f (at)] (z) = (1 / a) F [f (t)] (z / a)

Để chứng minh kết quả này, bạn có thể tiến hành thay đổi biến.

Khi T → + thì s = tại → +

Khi T → - thì s = tại → -

Đối xứng

Để nghiên cứu tính đối xứng của biến đổi Fourier, phải xác minh danh tính Parseval và công thức Plancherel.

Chúng ta có θ và thuộc về S. Từ đó có thể suy ra rằng:

Lấy

1 / (2π) d { F [θ ], F [ ] } Danh tính của Parseval

1 / (2π) d / 2 || F [θ ] | | Công thức _L 2 _R d của Plancherel

Biến đổi Fourier của sản phẩm trong tích chập

Theo các mục tiêu tương tự trong biến đổi Laplace, tích chập các hàm đề cập đến sản phẩm trong số các biến đổi Fourier của nó.

Chúng ta có f và g là 2 hàm giới hạn, được xác định và có thể tích hợp đầy đủ:

F (f * g) = F (f). F (g)

Sau đó khi thay đổi biến

t + s = x; tiếp tục với tích phân kép không đúng

F (f). F (g) = F (f. G)

Liên tục và rơi vào vô tận

Đối với mọi thứ thuộc về R, F [ ] tuân theo các tiêu chí của hàm liên tục giới hạn trong Rd.

Ngoài ra { F [ θ] (y)} → 0 trong C nếu | y | → ∞

Lịch sử

Khái niệm toán học này đã được Joseph B. Fourier trình bày vào năm 1811 trong khi phát triển một chuyên luận về sự truyền nhiệt. Nó nhanh chóng được thông qua bởi các ngành khoa học và kỹ thuật.

Nó được thành lập như là công cụ làm việc chính trong nghiên cứu các phương trình vi phân từng phần, thậm chí so sánh với mối quan hệ làm việc giữa biến đổi Laplace và phương trình vi phân thông thường.

Biến đổi Fourier được sử dụng để làm gì?

Nó chủ yếu phục vụ để đơn giản hóa các phương trình đáng kể, trong khi chuyển đổi các biểu thức dẫn xuất thành các phần tử sức mạnh, biểu thị các biểu thức vi phân dưới dạng đa thức tích phân.

Trong tối ưu hóa, điều chế và mô hình hóa các kết quả hoạt động như một biểu thức được tiêu chuẩn hóa, là một nguồn lực thường xuyên cho kỹ thuật sau nhiều thế hệ.

Loạt Fourier

Chúng là loạt được định nghĩa theo thuật ngữ của Cosines và Vú; chúng phục vụ để tạo thuận lợi cho công việc với các chức năng định kỳ chung. Khi được áp dụng, chúng là một phần của các kỹ thuật để giải phương trình vi phân một phần và thông thường.

Sê-ri Fourier thậm chí còn tổng quát hơn sê-ri Taylor, vì chúng phát triển các chức năng không liên tục định kỳ không có đại diện trong sê-ri Taylor.

Các hình thức khác của loạt Fourier

Để hiểu về biến đổi Fourier một cách phân tích, điều quan trọng là phải xem xét các hình thức khác trong đó có thể tìm thấy chuỗi Fourier, cho đến khi chúng ta có thể định nghĩa chuỗi Fourier trong ký hiệu phức tạp của nó.

- Chuỗi Fourier trên hàm thời gian 2L

Nhiều lần cần phải điều chỉnh cấu trúc của chuỗi Fourier, với các hàm định kỳ có chu kỳ là p = 2L> 0 trong khoảng [-L, L].

- Chuỗi Fourier trong các hàm lẻ và chẵn

Khoảng [-π, π] được xem xét, mang lại lợi thế khi tận dụng các đặc tính đối xứng của các hàm.

Nếu f chẵn, sê-ri Fourier được thiết lập thành một chuỗi Cosines.

Nếu f là số lẻ, chuỗi Fourier được thiết lập thành một chuỗi Sines.

Ký hiệu đầy đủ của loạt Fourier

Nếu chúng ta có hàm f (t), đáp ứng tất cả các yêu cầu cho sự phát triển của chuỗi Fourier, có thể biểu thị nó trong khoảng [-t, t] bằng cách sử dụng ký hiệu phức tạp của nó:

Ứng dụng

Tính toán giải pháp cơ bản

Biến đổi Fourier là một công cụ mạnh mẽ trong nghiên cứu các phương trình vi phân từng phần của loại tuyến tính với các hệ số không đổi. Chúng áp dụng cho các chức năng với các tên miền không giới hạn như nhau.

Giống như biến đổi Laplace, biến đổi Fourier biến đổi hàm đạo hàm riêng thành một phương trình vi phân thông thường đơn giản hơn nhiều để vận hành.

Bài toán Cauchy cho phương trình nhiệt trình bày một trường ứng dụng thường xuyên của biến đổi Fourier nơi tạo ra hàm nhiệt lõi hoặc lõi Dirichlet.

Đối với việc tính toán của giải pháp cơ bản, các trường hợp sau đây được trình bày trong đó người ta thường tìm thấy biến đổi Fourier:

-Đánh giá của Laplace

-Tiết nhiệt

-Chất lượng của Schrödinger

-Tổ sóng

Lý thuyết tín hiệu

Lý do chung cho việc áp dụng biến đổi Fourier trong nhánh này chủ yếu là do sự phân rã đặc trưng của tín hiệu là sự chồng chất vô hạn của các tín hiệu dễ điều trị hơn.

Nó có thể là sóng âm thanh hoặc sóng điện từ, biến đổi Fourier thể hiện nó trong sự chồng chất của các sóng đơn giản. Đại diện này là khá thường xuyên trong kỹ thuật điện.

Mặt khác, có những ví dụ về ứng dụng biến đổi Fourier trong lĩnh vực lý thuyết tín hiệu:

-Các biểu tượng nhận dạng hệ thống. Thành lập fyg

-Phương trình với tính nhất quán của tín hiệu đầu ra

-Các biểu tượng với việc lọc tín hiệu