Biến đổi Fourier rời rạc: thuộc tính, ứng dụng và ví dụ
Biến đổi Fourier rời rạc là một phương pháp số được sử dụng để xác định các mẫu liên quan đến tần số phổ tạo thành tín hiệu. Nghiên cứu các chức năng định kỳ trong các tham số đóng, dẫn đến một tín hiệu rời rạc khác.
Để có được biến đổi Fourier rời rạc của N điểm, trên tín hiệu rời rạc, 2 điều kiện sau phải được thực hiện trên chuỗi x [n]
x [n] = 0 n N - 1
Bằng cách đáp ứng các điều kiện này, biến đổi Fourier rời rạc có thể được định nghĩa là
Biến đổi Fourier rời rạc có thể được định nghĩa là lấy mẫu tại N điểm của biến đổi Fourier.
Giải thích biến đổi Fourier rời rạc
Có 2 quan điểm mà từ đó bạn có thể diễn giải các kết quả thu được trên chuỗi x s [n] thông qua biến đổi Fourier rời rạc.
-Đầu tiên tương ứng với các hệ số quang phổ, đã được biết đến từ chuỗi Fourier. Nó được quan sát trong các tín hiệu định kỳ riêng biệt, với các mẫu trùng với chuỗi x s [n].
-Thứ hai liên quan đến phổ của tín hiệu định kỳ rời rạc, với các mẫu tương ứng với chuỗi x s [n].
Biến đổi rời rạc là một xấp xỉ với phổ của tín hiệu tương tự gốc. Pha của nó phụ thuộc vào thời gian lấy mẫu, trong khi cường độ của nó phụ thuộc vào khoảng thời gian lấy mẫu.
Thuộc tính
Các nền tảng đại số của cấu trúc tạo nên các cơ sở logic của các phần sau.
Tuyến tính
C. S n → C. F [ S k ]; Nếu một chuỗi được nhân với một vô hướng, biến đổi của nó cũng sẽ được.
T n + V n = F [T k ] + F [V k ]; Phép biến đổi của một tổng bằng tổng các phép biến đổi.
Nhị nguyên
F [S n ] → (1 / N) S -k; Nếu một biểu thức được chuyển đổi được tính toán lại bằng biến đổi Fourier rời rạc, thì biểu thức tương tự được lấy, chia tỷ lệ theo N và đảo ngược với trục tung.
Kết luận
Theo các mục tiêu tương tự trong biến đổi Laplace, tích chập các hàm đề cập đến sản phẩm trong số các biến đổi Fourier của nó. Convolution cũng áp dụng cho thời gian riêng biệt và chịu trách nhiệm cho nhiều thủ tục hiện đại.
X n * R n → F [X n ]. [R n ]; Sự biến đổi của một tích chập bằng với tích của các phép biến đổi.
X n . R n → F [X n ] * F [R n ]; Sự biến đổi của một sản phẩm bằng với tích chập của các phép biến đổi.
Dịch chuyển
X nm → F [X k ] e -i (2π / N) km; Nếu một chuỗi bị trễ trong m mẫu, hiệu ứng của nó trong biến đổi rời rạc sẽ là sự điều chỉnh góc được xác định bởi (2π / N) km.
Đối xứng liên hợp
X t [-k] = X * t [k] = X t [N - K]
Điều chế
W -nm N. x [n] ↔ X t [k - m]
Sản phẩm
x [n] và [n] ↔ (1 / N) X t [k] * Y t [k]
Đối xứng
X [-n] ↔ X t [-k] = X * t [k]
Liên hợp
x * [n] X * t [-k]
Phương trình phân tích
Điểm tương đồng và khác biệt với biến đổi Fourier
Đối với biến đổi Fourier thông thường, nó có một số điểm tương đồng và khác biệt. Biến đổi Fourier chuyển đổi một chuỗi thành một dòng liên tục. Theo cách này, người ta nói rằng kết quả của biến Fourier là một hàm phức tạp của một biến thực.
Biến đổi Fourier rời rạc, ngược lại, nhận tín hiệu rời rạc và biến đổi nó thành tín hiệu rời rạc khác, đó là một chuỗi.
Biến đổi Fourier rời rạc để làm gì?
Chúng phục vụ chủ yếu để đơn giản hóa rất nhiều các phương trình, trong khi chuyển đổi các biểu thức dẫn xuất thành các phần tử sức mạnh. Biểu thị các biểu thức vi phân dưới dạng đa thức tích phân.
Trong tối ưu hóa, điều chế và mô hình hóa các kết quả hoạt động như một biểu thức được tiêu chuẩn hóa, là một nguồn lực thường xuyên cho kỹ thuật sau nhiều thế hệ.
Lịch sử
Khái niệm toán học này đã được Joseph B. Fourier trình bày vào năm 1811, đồng thời phát triển một chuyên luận về sự truyền nhiệt. Nó nhanh chóng được thông qua bởi các ngành khoa học và kỹ thuật.
Nó được thành lập như là công cụ làm việc chính trong nghiên cứu các phương trình vi phân từng phần, thậm chí so sánh với mối quan hệ làm việc giữa biến đổi Laplace và phương trình vi phân thông thường.
Bất kỳ chức năng nào có thể được làm việc với biến đổi Fourier phải có giá trị bên ngoài một tham số đã xác định.
Biến đổi Fourier rời rạc và nghịch đảo của nó
Biến đổi rời rạc thu được thông qua biểu thức:
Sau khi cho một chuỗi rời rạc X [n]
Nghịch đảo của biến đổi Fourier rời rạc được xác định bởi biểu thức:
Khi đã đạt được biến đổi rời rạc, hãy xác định chuỗi trong miền thời gian X [n].
Cửa sổ
Quá trình tham số hóa tương ứng với biến đổi Fourier rời rạc nằm trong cửa sổ. Để làm việc biến đổi, chúng ta phải giới hạn trình tự trong thời gian. Trong nhiều trường hợp, các tín hiệu trong câu hỏi không có những hạn chế như vậy.
Một chuỗi không đáp ứng các tiêu chí kích thước để áp dụng cho biến đổi rời rạc có thể được nhân với hàm "cửa sổ" V [n], xác định hành vi của chuỗi trong một tham số được kiểm soát.
X [n] V [n]
Độ rộng của phổ sẽ phụ thuộc vào độ rộng của cửa sổ. Khi chiều rộng của cửa sổ tăng lên, biến đổi được tính toán sẽ hẹp hơn.
Ứng dụng
Tính toán giải pháp cơ bản
Biến đổi Fourier rời rạc là một công cụ mạnh mẽ trong nghiên cứu các chuỗi rời rạc.
Biến đổi Fourier rời rạc biến đổi một hàm biến liên tục thành biến đổi biến rời rạc.
Bài toán Cauchy cho phương trình nhiệt trình bày một lĩnh vực ứng dụng chung của biến đổi Fourier rời rạc . Trường hợp hàm nhiệt lõi hoặc lõi của Dirichlet được tạo , áp dụng cho các giá trị mẫu trong một tham số xác định.
Lý thuyết tín hiệu
Lý do chung cho việc áp dụng biến đổi Fourier rời rạc trong nhánh này chủ yếu là do sự phân rã đặc trưng của tín hiệu là sự chồng chất vô hạn của các tín hiệu dễ điều trị hơn.
Nó có thể là sóng âm thanh hoặc sóng điện từ, biến đổi Fourier rời rạc thể hiện nó trong sự chồng chất của sóng đơn giản. Đại diện này là khá thường xuyên trong kỹ thuật điện.
Loạt Fourier
Chúng là loạt được định nghĩa theo thuật ngữ của Cosines và Vú. Họ phục vụ để tạo điều kiện cho công việc với các chức năng định kỳ chung. Khi được áp dụng, chúng là một phần của các kỹ thuật để giải phương trình vi phân một phần và thông thường.
Sê-ri Fourier thậm chí còn tổng quát hơn sê-ri Taylor, vì chúng phát triển các chức năng không liên tục định kỳ không có đại diện trong sê-ri Taylor.
Các hình thức khác của loạt Fourier
Để hiểu về biến đổi Fourier một cách phân tích, điều quan trọng là phải xem xét các cách khác có thể tìm thấy chuỗi Fourier, cho đến khi chúng ta có thể định nghĩa chuỗi Fourier trong ký hiệu phức tạp của nó.
- Chuỗi Fourier trên hàm thời gian 2L:
Nhiều lần cần phải điều chỉnh cấu trúc của chuỗi Fourier, với các hàm định kỳ có chu kỳ là p = 2L> 0 trong khoảng [-L, L].
- Chuỗi Fourier trong các hàm lẻ và chẵn
Khoảng [-π, π] được xem xét, mang lại lợi thế khi tận dụng các đặc tính đối xứng của các hàm.
Nếu f chẵn, sê-ri Fourier được thiết lập thành một chuỗi Cosines.
Nếu f là số lẻ, chuỗi Fourier được thiết lập thành một chuỗi Sines.
Ký hiệu đầy đủ của loạt Fourier
Nếu bạn có hàm f (t), đáp ứng tất cả các yêu cầu của chuỗi Fourier, có thể biểu thị nó trong khoảng [-t, t] bằng cách sử dụng ký hiệu phức tạp của nó:
Ví dụ
Đối với việc tính toán các giải pháp cơ bản, các ví dụ sau đây được trình bày:
Phương trình Laplace
Phương trình nhiệt
Phương trình Schrödinger
Phương trình sóng
Mặt khác, là các ví dụ về ứng dụng của biến đổi Fourier rời rạc trong lĩnh vực lý thuyết tín hiệu như sau:
-Các biểu tượng nhận dạng hệ thống. Thành lập fyg
-Phương trình với tính nhất quán của tín hiệu đầu ra
-Các biểu tượng với việc lọc tín hiệu
Bài tập
Bài tập 1
Tính toán biến đổi Fourier rời rạc cho chuỗi tiếp theo.
Bạn có thể định nghĩa TDF của x [n] là:
X t [k] = {4, -j2, 0, j2} cho k = 0, 1, 2, 3
Bài tập 2
Chúng tôi muốn xác định, thông qua một thuật toán kỹ thuật số, tín hiệu quang phổ được xác định bởi biểu thức x (t) = et. Trong đó hệ số yêu cầu tần số tối đa là f m = 1Hz. Một sóng hài tương ứng với f = 0, 3 Hz. Lỗi được giới hạn dưới 5%. Tính f s, D và N.
Có tính đến định lý lấy mẫu f s = 2f m = 2 Hz
Độ phân giải tần số f 0 = 0, 1 Hz được chọn , từ đó chúng tôi thu được D = 1 / 0, 1 = 10s
0, 3 Hz là tần số tương ứng với chỉ số k = 3, trong đó N = 3 × 8 = 24 mẫu. Cho biết f s = N / D = 24/10 = 2.4> 2
Vì mục tiêu là đạt được giá trị thấp nhất có thể cho N, nên các giá trị sau có thể được coi là một giải pháp:
f 0 = 0, 3 Hz
D = 1 / 0, 3 = 3, 33s
k = 1
N = 1 × 8 = 8
