Giới hạn Fermat: những gì nó bao gồm và các bài tập đã giải quyết
Giới hạn Fermat là một phương pháp số được sử dụng để lấy giá trị độ dốc của đường thẳng, tiếp tuyến với một hàm tại một điểm nhất định trong miền của nó. Nó cũng được sử dụng để có được các điểm quan trọng của hàm. Biểu thức của nó được định nghĩa là:
Rõ ràng là Fermat không biết những điều cơ bản của đạo hàm, tuy nhiên chính những nghiên cứu của ông đã khiến một nhóm các nhà toán học tìm hiểu về các đường tiếp tuyến và ứng dụng của chúng trong phép tính.
Giới hạn Fermat là gì?
Nó bao gồm một cách tiếp cận 2 điểm, trong các điều kiện trước đó tạo thành một đường thẳng tới hàm với giao điểm trong các cặp giá trị.
Khi xấp xỉ biến với giá trị "a", cặp điểm cần tìm là bắt buộc. Theo cách này, dòng secant trước đó trở thành tiếp tuyến với điểm (a; f (a)).
Giá trị của thương số (x - a), khi được đánh giá tại điểm "a", mang lại sự không xác định giới hạn của loại K giữa 0 (K / 0). Trong đó, thông qua các kỹ thuật bao thanh toán khác nhau, những sự không xác định này có thể bị phá vỡ.
Các kỹ thuật vận hành được sử dụng nhiều nhất là:
-Phân biệt bình phương (a2 - b2) = (a + b) (a - b); Sự tồn tại của phần tử (a - b) ngụ ý trong nhiều trường hợp yếu tố đơn giản hóa biểu thức (x - a) trong thương số của giới hạn Fermat.
- Hoàn thành các hình vuông (ax2 + bx); Sau khi hoàn thành các hình vuông, một nhị thức Newton thu được, trong đó một trong 2 yếu tố của nó được đơn giản hóa với biểu thức (x - a), phá vỡ sự không xác định.
- Liên hợp (a + b) / (a + b); Nhân và chia biểu thức bằng liên hợp của một số yếu tố, có thể giúp ích rất nhiều để phá vỡ sự không xác định.
- Yếu tố chung; Trong nhiều trường hợp, kết quả của việc vận hành tử số giới hạn Fermat f (x) - f (a) ẩn hệ số (x - a) cần thiết cho hệ số. Đối với điều này, nó được quan sát cẩn thận những yếu tố được lặp lại trong mỗi yếu tố của biểu thức.
Áp dụng giới hạn Fermat tối đa và tối thiểu
Mặc dù giới hạn Fermat không phân biệt giữa mức tối đa và mức tối thiểu, vì nó chỉ có thể xác định các điểm tới hạn theo định nghĩa của nó, nó thường được sử dụng trong tính toán điểm dừng hoặc tầng của các chức năng trong mặt phẳng.
Một kiến thức cơ bản về lý thuyết đồ họa của các hàm kết hợp với định lý này, có thể đủ để thiết lập các giá trị tối đa và tối thiểu giữa các hàm. Trong thực tế, các điểm uốn có thể được xác định bởi định lý giá trị trung bình bên cạnh định lý Fermat.
Các parabola khối
Nghịch lý quan trọng nhất đối với Fermat đến từ việc nghiên cứu parabola khối. Bởi vì sự chú ý của anh ta hướng đến các đường tiếp tuyến của một hàm cho một điểm nhất định, anh ta gặp phải vấn đề xác định đường tiếp tuyến đã nói tại điểm uốn hiện có trong hàm.
Dường như không thể xác định đường tiếp tuyến đến một điểm. Do đó, bắt đầu cuộc điều tra sẽ làm phát sinh phép tính vi phân. Được xác định sau bởi số mũ quan trọng của toán học.
Tối đa và tối thiểu
Nghiên cứu về tối đa và tối thiểu của một hàm là một thách thức đối với toán học cổ điển, trong đó một phương pháp rõ ràng và thực tế để định nghĩa các hàm này là cần thiết.
Fermat đã tạo ra một phương pháp dựa trên hoạt động của các giá trị vi sai nhỏ, sau quá trình bao thanh toán, được loại bỏ nhường chỗ cho giá trị tối đa và tối thiểu cần tìm.
Biến này sẽ phải được đánh giá trong biểu thức ban đầu để xác định tọa độ của điểm đã nói, cùng với tiêu chí phân tích sẽ được xác định là tối đa hoặc tối thiểu của biểu thức.
Phương pháp
Trong phương pháp của mình, Fermat sử dụng biểu tượng nghĩa đen của Vieta, bao gồm việc sử dụng độc quyền các chữ in hoa: nguyên âm, cho các ẩn số và phụ âm cho các đại lượng đã biết.
Trong trường hợp của các giá trị triệt để, Fermat đã thực hiện một quy trình cụ thể, sau này sẽ được sử dụng trong các yếu tố giới hạn của sự không xác định vô hạn giữa vô hạn.
Quá trình này bao gồm việc chia mỗi biểu thức cho giá trị của vi sai được sử dụng. Trong trường hợp của Fermat, ông đã sử dụng chữ E, trong đó sau khi phân chia giữa sức mạnh lớn hơn của E, giá trị tìm kiếm của điểm tới hạn trở nên rõ ràng.
Lịch sử
Giới hạn của Fermat trên thực tế là một trong những đóng góp ít phổ biến hơn trong danh sách dài của nhà toán học. Các nghiên cứu của ông trải dài từ các số nguyên tố, về cơ bản tạo ra các cơ sở cho việc tính toán.
Đồng thời, Fermat được biết đến với sự lập dị liên quan đến các giả thuyết của ông. Nó là phổ biến cho anh ta để lại một loại thách thức cho các nhà toán học khác cùng thời, khi anh ta đã có giải pháp hoặc trình diễn.
Ông có rất nhiều tranh chấp và liên minh với các nhà toán học khác nhau cùng thời, những người yêu thích hoặc ghét phải làm việc với ông.
Định lý cuối cùng của ông chịu trách nhiệm chính cho sự nổi tiếng thế giới của ông, nơi ông tuyên bố rằng việc khái quát hóa định lý Pythagore cho bất kỳ mức độ "n" nào là không thể. Ông nói rằng ông đã có một minh chứng hợp lệ về nó, nhưng ông đã chết trước khi công khai.
Cuộc biểu tình này đã phải chờ khoảng 350 năm. Năm 1995, các nhà toán học Andrew Wiles và Richard Taylor, chấm dứt sự lo lắng mà Fermat để lại, cho thấy rằng ông đã đúng thông qua một minh chứng hợp lệ cho định lý cuối cùng của mình.
Bài tập
Bài tập 1
Xác định độ dốc của đường tiếp tuyến với đường cong f (x) = x2 tại điểm (4, 16)
Thay thế trong biểu thức giới hạn của Fermat chúng ta có:
Các yếu tố được đơn giản hóa (x - 4)
Khi đánh giá bạn có
M = 4 + 4 = 8
Bài tập 2
Xác định điểm tới hạn của biểu thức f (x) = x2 + 4x bằng giới hạn Fermat
Một nhóm các yếu tố chiến lược được thực hiện, tìm cách nhóm các cặp XX 0
Các hình vuông nhỏ nhất được phát triển
Yếu tố chung XX 0 được quan sát và trích xuất
Bây giờ biểu thức có thể được đơn giản hóa và sự không xác định có thể bị phá vỡ
Tại các điểm tối thiểu được biết rằng độ dốc của đường tiếp tuyến bằng không. Theo cách này, chúng ta có thể bằng biểu thức tìm thấy bằng 0 và xóa giá trị X 0
2 X 0 + 4 = 0
X 0 = -4/2 = -2
Để có được tọa độ bị thiếu, bạn chỉ cần đánh giá điểm trong hàm ban đầu
F (-2) = (-2) 2 + 4 (-2) = 4 - 8 = - 4
Điểm tới hạn là P (-2, -4).
