Không gian vectơ: cơ sở và kích thước, tiên đề, tính chất, ví dụ

Một không gian vectơ là một tập hợp không rỗng V = { u , v , w , ......}, có các phần tử là các vectơ. Với họ, một số hoạt động quan trọng được thực hiện, trong đó nổi bật sau đây:

- Tổng giữa hai vectơ u + v dẫn đến z, thuộc tập V.

- Phép nhân một số thực α với một vectơ v : α v tạo ra một vectơ khác và thuộc về V.

Để biểu thị một vectơ, chúng ta sử dụng chữ đậm ( v là vectơ) và đối với vô hướng hoặc số chữ cái Hy Lạp (α là một số).

Tiên đề và tính chất

Để là một không gian vectơ, tám tiên đề sau phải được thực hiện:

1-Tính giao hoán: u + v = v + u

2-Độ biến đổi: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3-Sự tồn tại của vectơ null 0 sao cho 0 + v = v

4-Sự tồn tại của đối diện: ngược lại với v là (- v ), vì v + (- v ) = 0

5-Phân phối của sản phẩm đối với tổng vectơ: α ( u + v ) = α u + α v

6-Phân phối của sản phẩm đối với tổng vô hướng: (α +) v = α v + β v

7-Associativity của sản phẩm vô hướng: α (β v ) = (α β) v

8-Số 1 là phần tử trung tính vì: 1 v = v

Ví dụ về không gian vectơ

Ví dụ 1

Các vectơ trong mặt phẳng (R²) là một ví dụ về không gian vectơ. Một vectơ trong mặt phẳng là một vật thể hình học có độ lớn và hướng. Nó được đại diện bởi một phân đoạn định hướng thuộc về mặt phẳng đã nói và với kích thước tỷ lệ thuận với độ lớn của nó.

Tổng của hai vectơ trong mặt phẳng có thể được định nghĩa là phép toán hình học của vectơ thứ hai sau vectơ thứ nhất. Kết quả của tổng là phân đoạn định hướng bắt đầu từ gốc của đầu tiên và đạt đến đỉnh của thứ hai.

Trong hình có thể lưu ý rằng tổng bằng R² là giao hoán.

Tích của một số α cũng được xác định bởi một vectơ. Nếu số là dương, hướng vectơ gốc được duy trì và kích thước gấp α lần vectơ gốc. Nếu số âm, địa chỉ ngược lại và kích thước của vectơ kết quả là giá trị tuyệt đối của số.

Vectơ đối diện với vectơ bất kỳ v là - v = (- 1) v .

Vectơ null là một điểm trong mặt phẳng R² và số 0 cho một vectơ dẫn đến vectơ null.

Tất cả mọi thứ nói được minh họa trong Hình 2.

Ví dụ 2

Tập P của tất cả các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng hai, bao gồm độ 0, tạo thành một tập hợp đáp ứng tất cả các tiên đề của không gian vectơ.

Đặt đa thức P (x) = a x² + bx + c và Q (x) = d x² + ex + f

Tổng của hai đa thức được xác định: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Tổng các đa thức thuộc tập P là giao hoán và bắc cầu.

Đa thức null thuộc tập hợp P là tập hợp có tất cả các hệ số của nó bằng 0:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Tổng của một vô hướng α được xác định bởi một đa thức, chẳng hạn như: α P (x) = α a x² + α bx + α ∙ c

Đa thức đối diện của P (x) là -P (x) = (-1) P (x).

Từ tất cả các điều trên, tập hợp P của tất cả các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng hai, là một không gian vectơ.

Ví dụ 3

Tập M của tất cả các ma trận của m hàng xn cột có các phần tử là số thực tạo thành một không gian vectơ thực, liên quan đến các phép toán cộng ma trận và tích của một số bằng một ma trận.

Ví dụ 4

Tập hợp F của các hàm liên tục của biến thực, tạo thành một không gian vectơ, vì có thể xác định tổng của hai hàm, phép nhân của một vô hướng bởi một hàm, hàm null và hàm đối xứng. Họ cũng hoàn thành các tiên đề đặc trưng cho một không gian vectơ.

Cơ sở và kích thước của một không gian vectơ

Cơ sở

Cơ sở của một không gian vectơ được định nghĩa là một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính sao cho bất kỳ vectơ nào của không gian vectơ đó có thể được tạo ra từ sự kết hợp tuyến tính của chúng.

Để kết hợp tuyến tính hai hoặc nhiều vectơ là nhân các vectơ với một số vô hướng và sau đó thêm chúng theo vectơ.

Ví dụ, cơ sở chính tắc được xác định bởi các vectơ đơn vị (có độ lớn 1) i, j, k được sử dụng trong không gian vectơ có ba chiều được tạo bởi R³.

Trong đó i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Đây là các vectơ Cartesian hoặc kinh điển.

Mọi vectơ V thuộc R³ được viết là V = a i + b j + c k, là tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở i, j, k . Các vô hướng hoặc số a, b, c được gọi là các thành phần Cartesian của V.

Người ta cũng nói rằng các vectơ cơ sở của không gian vectơ tạo thành một tập hợp máy phát của không gian vectơ.

Kích thước

Kích thước của không gian vectơ là số chính của cơ sở vectơ cho không gian đã nói; đó là số lượng vectơ tạo nên cơ sở đã nói.

Hồng y này là số lượng vectơ độc lập tuyến tính tối đa của không gian vectơ đó, đồng thời số lượng vectơ tối thiểu tạo thành một bộ tạo không gian nói trên.

Các cơ sở của một không gian vectơ không phải là duy nhất, nhưng tất cả các cơ sở của cùng một không gian vectơ có cùng chiều.

Không gian con vector

Không gian con vectơ S của không gian vectơ V là tập con của V trong đó các hoạt động tương tự được xác định như trong V và đáp ứng tất cả các tiên đề của không gian vectơ. Do đó, không gian con S cũng sẽ là một không gian vectơ.

Ví dụ về không gian con vectơ là các vectơ thuộc về mặt phẳng XY. Không gian con này là tập hợp con của không gian vectơ có chiều lớn hơn tập hợp vectơ thuộc không gian ba chiều XYZ.

Một ví dụ khác về không gian con vector S1 của không gian vectơ S được hình thành bởi tất cả các ma trận 2 × 2 với các phần tử thực là một định nghĩa dưới đây:

Thay vào đó S2 được định nghĩa bên dưới, mặc dù nó là tập con của S, không tạo thành không gian con vectơ:

Bài tập đã giải quyết

-Phát triển 1

Đặt các vectơ V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) và V3 = (0, 0, 3) trong R³.

a) Chứng minh rằng chúng độc lập tuyến tính.

b) Chứng minh rằng chúng tạo thành một cơ sở trong R³, vì bất kỳ bộ ba (x, y, z) nào cũng có thể được viết dưới dạng kết hợp tuyến tính của V1, V2, V3.

c) Tìm các thành phần của bộ ba V = (-3, 5, 4) trong cơ sở V1, V2, V3 .

Giải pháp

Tiêu chí để chứng minh tính độc lập tuyến tính bao gồm thiết lập các phương trình sau trong α, α và

α (1, 1, 0) + ((0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

Trong trường hợp giải pháp duy nhất cho hệ thống này là α = = γ = 0 thì các vectơ độc lập tuyến tính, nếu không thì không.

Để có được các giá trị của α, và, chúng tôi đề xuất hệ phương trình sau:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ 3 = 0

Cái thứ nhất dẫn đến α = 0, cái thứ hai α = -2 nhưng là α = 0 thì = 0. Phương trình thứ ba ngụ ý rằng γ = (- 1/3), nhưng là β = 0 thì = 0.

Trả lời

Người ta kết luận rằng đó là một tập các vectơ độc lập tuyến tính trong R³.

Trả lời b

Bây giờ, hãy viết bộ ba (x, y, z) dưới dạng kết hợp tuyến tính của V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ 3 = z

Nơi bạn có:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

Cái đầu tiên chỉ ra α = x, thứ hai = (yx) / 2 và thứ ba = (z- và / 2 + x / 2) / 3. Bằng cách này, chúng tôi đã tìm thấy các bộ tạo của α, và của bất kỳ bộ ba R³ nào

Trả lời c

Chúng ta hãy tìm các thành phần của bộ ba V = (-3, 5, 4) trong cơ sở V1, V2, V3 .

Chúng tôi thay thế các giá trị tương ứng trong các biểu thức được tìm thấy trước đây cho các trình tạo.

Trong trường hợp này, chúng ta có: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Đó là:

(-3, 5, 4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Cuối cùng:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Chúng tôi kết luận rằng V1, V2, V3 tạo thành một cơ sở trong không gian vectơ R³ của chiều 3.

-Phát triển 2

Thể hiện đa thức P (t) = t² + 4t -3 dưới dạng kết hợp tuyến tính của P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t và P3 (t) = t + 3.

Giải pháp

P (t) = x P1 (t) + và P2 (t) + z P3 (t)

trong đó các số x, y, z phải được xác định.

Bằng cách nhân và nhóm các thuật ngữ với cùng một mức độ trong t bạn nhận được:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Điều này dẫn chúng ta đến hệ phương trình sau:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Các giải pháp của hệ phương trình này là:

x = -3, y = 2, z = 4.

Đó là:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Phát triển 3

Chứng tỏ rằng các vectơ v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) và v3 = (2, 1, -1, 1) của R⁴ là độc lập tuyến tính.

Giải pháp

Chúng tôi kết hợp tuyến tính ba vectơ v1, v2, v3 và yêu cầu kết hợp thêm phần tử null của R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

Ý tôi là

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + (c

Điều này dẫn chúng ta đến hệ phương trình sau:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Trừ đi thứ nhất và thứ tư, chúng ta có: -a + c = 0 nghĩa là a = c.

Nhưng nếu bạn nhìn vào phương trình thứ ba, chúng ta có a = -c. Cách duy nhất để đạt được a = c = (- c) là c bằng 0 và do đó a cũng sẽ là 0.

a = c = 0

Nếu chúng ta thay thế kết quả này trong phương trình đầu tiên thì chúng ta kết luận rằng b = 0.

Cuối cùng a = b = c = 0, vì vậy chúng ta có thể kết luận rằng các vectơ v1, v2 và v3 là độc lập tuyến tính.