Hằng số tích hợp: ý nghĩa, cách tính toán và ví dụ

Hằng số tích hợp là một giá trị được thêm vào để tính toán đối kháng hoặc tích phân, nó dùng để biểu diễn các giải pháp tạo nên tính nguyên thủy của hàm. Nó diễn tả một sự mơ hồ vốn có trong đó bất kỳ chức năng nào cũng có vô số nguyên thủy.

Ví dụ: nếu chức năng được thực hiện: f (x) = 2x + 1 và chúng tôi nhận được tính chống đối của nó:

∫ (2x + 1) dx = x2 + x + C ; Trong đó C là hằng số tích hợp và biểu thị bằng đồ họa dọc giữa các khả năng vô hạn của nguyên thủy. Thật đúng khi nói rằng (x2 + x) là một trong những nguyên thủy của f (x).

Theo cùng một cách chúng ta có thể định nghĩa a (x2 + x + C ) là nguyên thủy của f (x).

Đảo ngược tài sản

Có thể lưu ý rằng khi lấy biểu thức (x2 + x), hàm f (x) = 2x + 1 được lấy. Điều này là do tính chất nghịch đảo tồn tại giữa đạo hàm và tích hợp các hàm. Thuộc tính này cho phép có được các công thức tích hợp bắt đầu từ sự khác biệt. Cho phép xác minh các tích phân thông qua các dẫn xuất tương tự.

Tuy nhiên (x2 + x) không phải là hàm duy nhất có đạo hàm bằng (2x + 1).

d ( x2 + x) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + 1) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + 2) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + 3) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + C ) / dx = 2x + 1

Trong đó 1, 2, 3 và 4 đại diện cho các nguyên thủy cụ thể của f (x) = 2x + 1. Trong đó 5 đại diện cho tích phân không xác định hoặc nguyên thủy của f (x) = 2x + 1.

Các nguyên thủy của một chức năng được thực hiện thông qua quá trình chống phản xạ hoặc tích phân. Trong đó F sẽ là nguyên thủy của f nếu điều sau là đúng

y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = hằng số tích hợp
F '(x) = f (x)

Người ta đánh giá cao rằng một hàm có một đạo hàm duy nhất, không giống như các nguyên hàm vô hạn của nó do sự tích hợp.

Tích phân không xác định

∫ f (x) dx = F (x) + C

Tương ứng với một họ các đường cong có cùng mẫu, trải nghiệm sự không thống nhất về giá trị của các hình ảnh của mỗi điểm (x, y). Mỗi hàm tuân theo mẫu này sẽ là một nguyên hàm riêng và tập hợp tất cả các hàm được gọi là tích phân không xác định.

Giá trị của hằng số tích hợp sẽ là giá trị phân biệt từng chức năng trong thực tế.

Hằng số tích hợp cho thấy sự dịch chuyển dọc trong tất cả các biểu đồ biểu thị các nguyên hàm của hàm. Trong đó sự song song giữa chúng được quan sát và thực tế là C là giá trị của sự dịch chuyển.

Theo thông lệ, hằng số tích hợp được ký hiệu bằng chữ "C" sau khi thêm, mặc dù trong thực tế, nó không quan tâm nếu hằng số được thêm hoặc trừ. Giá trị thực của nó có thể được tìm thấy theo những cách khác nhau theo các điều kiện ban đầu khác nhau.

Các ý nghĩa khác của hằng số tích hợp

Chúng ta đã nói về cách hằng số tích hợp được áp dụng trong nhánh của phép tính tích phân ; Đại diện cho một họ các đường cong xác định tích phân không xác định. Nhưng nhiều ngành khoa học và ngành khác đã gán các giá trị rất thú vị và thực tế của hằng số tích hợp, điều này đã tạo điều kiện cho sự phát triển của nhiều nghiên cứu.

Trong vật lý, hằng số tích hợp có thể lấy nhiều giá trị theo tính chất của dữ liệu. Một ví dụ rất phổ biến là biết hàm V (t) đại diện cho vận tốc của hạt so với thời gian t. Được biết, việc tính toán nguyên thủy của V (t) cho hàm R (t) đại diện cho vị trí của hạt so với thời gian.

Hằng số tích hợp sẽ biểu thị giá trị của vị trí ban đầu, nghĩa là tại thời điểm t = 0.

Tương tự, nếu chúng ta biết hàm A (t) đại diện cho gia tốc của hạt so với thời gian. Nguyên thủy của A (t) sẽ dẫn đến hàm V (t), trong đó hằng số tích hợp sẽ là giá trị của vận tốc ban đầu V ₀ .

Trong kinh tế học, bằng cách có được tính nguyên thủy của hàm chi phí bằng cách tích hợp. Hằng số tích hợp sẽ đại diện cho các chi phí cố định. Và rất nhiều ứng dụng khác đòi hỏi tính toán vi phân và tích phân.

Hằng số tích hợp được tính như thế nào?

Để tính hằng số tích hợp, sẽ luôn cần phải biết các điều kiện ban đầu . Cái nào chịu trách nhiệm xác định cái nguyên thủy nào có thể là tương ứng.

Trong nhiều ứng dụng, nó được coi là một biến độc lập tại thời điểm (t), trong đó hằng số C lấy các giá trị xác định các điều kiện ban đầu của trường hợp cụ thể.

Nếu lấy ví dụ ban đầu: ∫ (2x + 1) dx = x2 + x + C

Một điều kiện ban đầu hợp lệ có thể là điều kiện biểu đồ đi qua một tọa độ cụ thể. Ví dụ, người ta biết rằng nguyên thủy (x2 + x + C) đi qua điểm (1, 2)

F (x) = x2 + x + C; đây là giải pháp chung

F (1) = 2

Chúng tôi thay thế giải pháp chung trong sự bình đẳng này

F (1) = (1) 2 + (1) + C = 2

Từ đó dễ dàng suy ra rằng C = 0

Theo cách này, nguyên thủy tương ứng cho trường hợp này là F (x) = x2 + x

Có một số loại bài tập số hoạt động với hằng số tích hợp . Trong thực tế, phép tính vi phân và tích phân không ngừng áp dụng trong các cuộc điều tra hiện tại. Trong các cấp học khác nhau, họ có thể được tìm thấy; từ tính toán ban đầu, trải qua vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế, trong số những người khác.

Nó cũng được thấy trong nghiên cứu các phương trình vi phân, trong đó hằng số tích phân có thể có các giá trị và giải pháp khác nhau, điều này là do nhiều dẫn xuất và tích hợp được thực hiện trong vấn đề này.

Ví dụ

Ví dụ 1

Một khẩu pháo nằm ở độ cao 30 mét bắn một viên đạn thẳng đứng lên trên. Được biết, vận tốc ban đầu của đạn là 25 m / s. Xác định:

Hàm xác định vị trí của đạn theo thời gian.
Thời gian của chuyến bay hoặc tức thời của hạt chạm đất.

Được biết, trong một chuyển động trực tràng biến đổi đồng đều, gia tốc là một giá trị không đổi. Đây là trường hợp phóng đạn, trong đó gia tốc sẽ là trọng lực

g = - 10 m / s2

Người ta cũng biết rằng gia tốc là đạo hàm thứ hai của vị trí, biểu thị sự tích hợp kép trong độ phân giải của bài tập, do đó có được hai hằng số tích hợp.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

Các điều kiện ban đầu của bài tập chỉ ra rằng vận tốc ban đầu là V ₀ = 25 m / s. Đây là vận tốc tại thời điểm tức thời t = 0. Do đó, nó tuân theo:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ và C ₁ = 25

Hàm tốc độ được xác định

V (t) = -10t + 25; Có thể thấy sự tương đồng với công thức MRUV (V _f = V ₀ + axt)

Theo cách tương đồng, hàm tốc độ được tích hợp để có được biểu thức xác định vị trí:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t2 + 25t + C ₂

R (t) = -5t2 + 25t + C ₂ (vị trí nguyên thủy)

Vị trí ban đầu R (0) = 30 m được biết đến. Sau đó, tính nguyên thủy đặc biệt của đạn được tính toán.

R (0) = 30m = -5 (0) 2 + 25 (0) + C ₂ . Trong đó C ₂ = 30

Phần đầu tiên được giải vì R (t) = -5t2 + 25t + 30 ; Biểu thức này tương đồng với công thức chuyển vị trong MRUV R (t) = R ₀ + V ₀ t - gt2 / 2

Đối với phần thứ hai, chúng ta phải giải phương trình bậc hai: -5t2 + 25t + 30 = 0

Vì điều kiện này hạt phải chạm tới mặt đất (vị trí = 0)

Trên thực tế phương trình lớp 2 cung cấp cho chúng ta 2 nghiệm T: {6, -1}. Giá trị t = -1 bị bỏ qua vì đây là đơn vị thời gian có tên miền không bao gồm số âm.

Bằng cách này, phần thứ hai được giải quyết, trong đó thời gian bay bằng 6 giây.

Ví dụ 2

Tìm nguyên hàm f (x) đáp ứng các điều kiện ban đầu:

f "(x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Với thông tin của đạo hàm thứ hai f '' (x) = 4, quá trình chống phản ứng được bắt đầu

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Sau đó, biết điều kiện f '(2) = 2, tiến hành:

4 (2) + C ₁ = 2

C ₁ = -6 và f '(x) = 4x - 8

Quy trình tương tự được thực hiện cho hằng số tích hợp thứ hai

f (x) = ∫f '(x) dx

(4x - 8) dx = 2x2 - 8x + C ₂

Điều kiện ban đầu f (0) = 7 đã biết và chúng tôi tiến hành:

2 (0) 2 - 8 (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 và f (x) = 2x2 - 8+ + 7

f "(x) = x2; f '(0) = 6; f (0) = 3

Theo cách tương tự với bài toán trước, chúng tôi xác định các đạo hàm đầu tiên và hàm ban đầu từ các điều kiện ban đầu.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x2) dx = (x3 / 3) + C ₁

Với điều kiện f '(0) = 6 tiến hành:

(03/3) + C ₁ = 6; Trong đó C ₁ = 6 và f '(x) = (x3 / 3) + 6

Sau đó, hằng số tích hợp thứ hai

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ [(x3 / 3) + 6] dx = (x4 / 12) + 6x + C ₂

Điều kiện ban đầu f (0) = 3 được biết và tiến hành:

[(0) 4/12] + 6 (0) + C ₂ = 3; Trong đó C ₂ = 3

Do đó, nguyên thủy cụ thể thu được

f (x) = (x4 / 12) + 6x + 3

Ví dụ 3

Xác định các hàm nguyên thủy cho các đạo hàm và một điểm của đồ thị:

dy / dx = 2x - 2 Điều gì xảy ra thông qua điểm (3, 2)

Điều quan trọng cần nhớ là các đạo hàm đề cập đến độ dốc của đường tiếp tuyến với đường cong tại một điểm nhất định. Trong trường hợp không đúng khi giả sử rằng đồ thị của đạo hàm chạm vào điểm được chỉ ra, vì cái này thuộc về đồ thị của hàm nguyên thủy.

Theo cách này, chúng tôi biểu thị phương trình vi phân theo cách sau:

dy = ( 2x - 2) dx ; sau đó, khi áp dụng các tiêu chí chống phản kháng, chúng ta có:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

y = x2 - 2x + C

Áp dụng điều kiện ban đầu:

2 = (3) 2 - 2 (3) + C

C = -1

Bạn nhận được: f (x) = x2 - 2x - 1

dy / dx = 3x2 - 1 Điều gì xảy ra thông qua điểm (0, 2)

Chúng tôi biểu diễn phương trình vi phân theo cách sau:

dy = ( 3x2 - 1) dx ; sau đó, khi áp dụng các tiêu chí chống phản kháng, chúng ta có:

∫dy = ∫ ( 3x2 - 1) dx

y = x3 - x + C

Áp dụng điều kiện ban đầu:

2 = (0) 2 - 2 (0) + C

C = 2

Bạn nhận được: f (x) = x3 - x + 2

Bài tập dự kiến

Bài tập 1

Tìm nguyên hàm f (x) đáp ứng các điều kiện ban đầu:

f "(x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
f "(x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
f "(x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Bài tập 2

Một quả bóng bay lên với tốc độ 16 feet / s giải phóng một bao cát từ độ cao 64 feet so với mặt đất.

Xác định thời gian bay
Vectơ V _f sẽ là gì khi chạm sàn?

Bài tập 3

Hình vẽ cho thấy biểu đồ thời gian tăng tốc của một chiếc ô tô đang di chuyển theo hướng tích cực của trục x. Chiếc xe đang di chuyển với tốc độ không đổi 54 km / h khi người lái áp dụng phanh dừng lại sau 10 giây. Xác định: