Hàm tiêm: chúng bao gồm những gì, chúng dùng để làm gì và ví dụ với các bài tập đã giải

Hàm tiêm là tất cả các mối quan hệ của các thành phần của miền với một thành phần duy nhất của tên miền. Còn được gọi là hàm một đối một ( 1 - 1 ), chúng là một phần của việc phân loại các hàm liên quan đến cách các yếu tố của chúng có liên quan.

Một phần tử của tên miền chỉ có thể là hình ảnh của một phần tử duy nhất của tên miền, theo cách này, các giá trị của biến phụ thuộc không thể được lặp lại.

Một ví dụ rõ ràng là nhóm những người đàn ông làm việc trong nhóm A và trong nhóm B với tất cả các nhà lãnh đạo. Hàm F sẽ là hàm liên kết mỗi công nhân với sếp của anh ta. Nếu mỗi công nhân được liên kết với một ông chủ khác nhau thông qua F, thì F sẽ là một chức năng tiêm .

Để xem xét một chức năng như là tiêm, phải hoàn thành những điều sau đây:

∀ x ₁ ≠ x ₂ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Đây là cách nói đại số Đối với tất cả x ₁ khác với x _2, chúng ta có F (x ₁ ) khác với F (x ₂ ).

Các chức năng tiêm cho là gì?

Tiêm truyền là một thuộc tính của các hàm liên tục, vì chúng đảm bảo phân bổ hình ảnh cho từng thành phần của miền, một khía cạnh thiết yếu trong tính liên tục của chức năng.

Khi vẽ một đường thẳng song song với trục X trên biểu đồ của hàm tiêm, chỉ nên chạm vào biểu đồ tại một điểm duy nhất, bất kể chiều cao hay độ lớn của Y mà đường được vẽ. Đây là cách đồ họa để kiểm tra mức độ ảnh hưởng của hàm.

Một cách khác để kiểm tra xem hàm có phải là hàm hay không, là xóa biến độc lập X theo biến phụ thuộc Y. Sau đó, bạn phải xác minh xem miền của biểu thức mới này có chứa các số thực không, đồng thời cho mỗi giá trị của Y Chỉ có một giá trị của X.

Các chức năng hoặc quan hệ của trật tự tuân theo, trong số các hình thức khác, ký hiệu F: D _f → C _f

Đó là đọc F đi từ D _f đến C _f

Trong đó hàm F liên quan đến các tập hợp Miền và Codomain. Còn được gọi là bộ bắt đầu và bộ đến.

Miền D _f chứa các giá trị được phép cho biến độc lập. Tên miền C _f được hình thành bởi tất cả các giá trị có sẵn cho biến phụ thuộc. Các phần tử của C _f liên quan đến D _f được gọi là Phạm vi Chức năng (R _f ).

Điều hòa các chức năng

Đôi khi một chức năng không phải là tiêm, có thể phải chịu một số điều kiện. Những điều kiện mới này có thể biến nó thành một chức năng tiêm. Tất cả các loại sửa đổi cho miền và tên miền của hàm là hợp lệ, trong đó mục tiêu là tuân thủ các thuộc tính của tính tiêm truyền trong mối quan hệ tương ứng.

Ví dụ về chức năng tiêm với các bài tập đã giải

Ví dụ 1

Đặt hàm F: R → R được xác định bởi dòng F (x) = 2x - 3

A: [Tất cả các số thực]

Nó được quan sát thấy rằng đối với mỗi giá trị của tên miền có một hình ảnh trong tên miền. Hình ảnh này là duy nhất làm cho F là một chức năng tiêm. Điều này áp dụng cho tất cả các hàm tuyến tính (Các hàm có mức độ cao nhất của biến là một).

Ví dụ 2

Đặt hàm F: R → R được xác định bởi F (x) = x2 +1

Khi vẽ một đường ngang, nó được quan sát thấy rằng đồ thị được tìm thấy nhiều hơn một lần. Do đó, hàm F không được tiêm miễn là R → R được xác định

Chúng tôi tiến hành điều kiện miền của hàm:

F: R + U {0} → R

Bây giờ biến độc lập không lấy giá trị âm, do đó tránh lặp lại kết quả và hàm F: R + U {0} → R được xác định bởi F (x) = x2 + 1 là dạng tiêm .

Một giải pháp tương đồng khác là phân định miền từ bên trái, nghĩa là hạn chế hàm chỉ lấy các giá trị âm và 0.

Chúng tôi tiến hành điều kiện miền của hàm

F: R- U {0} → R

Bây giờ biến độc lập không lấy giá trị âm, điều này tránh lặp lại kết quả và hàm F: R- U {0} → R được xác định bởi F (x) = x2 + 1 là tiêm .

Các hàm lượng giác có các hành vi tương tự như sóng, trong đó rất phổ biến để tìm sự lặp lại của các giá trị trong biến phụ thuộc. Thông qua điều kiện cụ thể, dựa trên kiến ​​thức trước về các chức năng này, chúng tôi có thể giới hạn miền để đáp ứng các điều kiện của sự tiêm nhiễm.

Ví dụ 3

Đặt hàm F là: [- π / 2, π / 2 ] → R được xác định bởi F (x) = Cos (x)

Trong khoảng [- π / 2 → π / 2 ], hàm cosin thay đổi kết quả giữa 0 và 1.

Như thể hiện trong biểu đồ. Bắt đầu từ 0 tại x = - π / 2 sau đó đạt cực đại tại 0. Đó là sau x = 0, các giá trị bắt đầu lặp lại, cho đến khi trở về 0 tại x = π / 2. Theo cách này, người ta biết rằng F (x) = Cos (x) không được tiêm trong khoảng [- π / 2, π / 2 ] .

Khi nghiên cứu đồ thị của hàm F (x) = Cos (x), chúng ta quan sát các khoảng thời gian trong đó hành vi của đường cong thích ứng với các tiêu chí của độ tiêm. Ví dụ như khoảng

[0, π ]

Trong đó hàm thay đổi kết quả từ 1 đến -1, mà không lặp lại bất kỳ giá trị nào trong biến phụ thuộc.

Theo cách này, hàm chức năng F: [0, π ] → R được xác định bởi F (x) = Cos (x). Nó là tiêm

Có các hàm phi tuyến tính trong đó các trường hợp tương tự được trình bày. Đối với các biểu thức của loại hợp lý, trong đó mẫu số lưu trữ ít nhất một biến, có những hạn chế ngăn cản sự tiêm nhiễm của mối quan hệ.

Ví dụ 4

Đặt hàm F: R → R được xác định bởi F (x) = 10 / x

Hàm được xác định cho tất cả các số thực trừ {0} người không xác định (Không thể chia cho 0) .

Khi tiếp cận 0 ở bên trái, biến phụ thuộc sẽ nhận các giá trị âm rất lớn và ngay sau 0, các giá trị của biến phụ thuộc sẽ có các số dương lớn.

Sự gián đoạn này gây ra biểu thức F: R → R được xác định bởi F (x) = 10 / x

Đừng tiêm chích.

Như đã thấy trong các ví dụ trước, việc loại trừ các giá trị trong miền phục vụ cho việc "sửa chữa" những điều không xác định này. Chúng tôi tiến hành loại trừ số 0 của tên miền, để lại các bộ khởi hành và điểm đến được xác định như sau:

R - {0} → R

Trong đó R - {0} tượng trưng cho các số thực trừ một tập hợp có phần tử duy nhất bằng không.

Theo cách này, biểu thức F: R - {0} → R được xác định bởi F (x) = 10 / x là tiêm truyền.

Ví dụ 5

Đặt hàm F là: [0, π ] → R được xác định bởi F (x) = Sen (x)

Trong khoảng [0, π ], hàm sin thay đổi kết quả giữa 0 và 1.

Như thể hiện trong biểu đồ. Bắt đầu từ 0 tại x = 0, sau đó đạt tối đa tại x = π / 2. Đó là sau x = π / 2, các giá trị bắt đầu lặp lại, cho đến khi trở về 0 tại x = π. Theo cách này, người ta biết rằng F (x) = Sen (x) không được tiêm trong khoảng [0, π ] .

Khi nghiên cứu đồ thị của hàm F (x) = Sen (x), chúng ta quan sát các khoảng thời gian trong đó hành vi của đường cong thích ứng với các tiêu chí của độ tiêm. Ví dụ như khoảng [ π / 2 , 3π / 2 ]

Trong đó hàm thay đổi kết quả từ 1 đến -1, mà không lặp lại bất kỳ giá trị nào trong biến phụ thuộc.

Theo cách này, hàm F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → R được xác định bởi F (x) = Sen (x). Nó là tiêm

Ví dụ 6

Xác minh xem hàm F: [0, ∞) → R được xác định bởi F (x) = 3x2 là tiêm.

Nhân dịp này, miền biểu hiện đã bị giới hạn. Nó cũng được quan sát thấy rằng các giá trị của biến phụ thuộc không được lặp lại trong khoảng này.

Do đó, có thể kết luận rằng F: [0, ) → R được xác định bởi F (x) = 3x2 là tiêm

Ví dụ 7

Xác định chức năng nào sau đây là

1. Nó là tiêm. Các yếu tố liên quan của tên miền là duy nhất cho mỗi giá trị của biến độc lập.
2. Nó không phải là tiêm. Có các yếu tố của tên miền được liên kết với nhiều hơn một yếu tố của tập bắt đầu.
3. Nó là tiêm
4. Nó không phải là tiêm

Bài tập đề xuất cho lớp / nhà

Xác minh nếu các chức năng sau đây là tiêm truyền:

F: [0, ) → R được xác định bởi F (x) = (x + 3) 2

F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → R được xác định bởi F (x) = Tan (x)

F: [- π , π ] → R được xác định bởi F (x) = Cos (x + 1)

F: R → R được xác định bởi dòng F (x) = 7x + 2