Thành công bậc hai: ví dụ, quy tắc và bài tập đã giải
Các chuỗi bậc hai, theo thuật ngữ toán học, bao gồm các chuỗi số theo một quy tắc số học nhất định. Thật thú vị khi biết quy tắc này để xác định bất kỳ điều khoản nào của chuỗi.
Một cách để làm điều này là xác định sự khác biệt giữa hai thuật ngữ liên tiếp và xem giá trị thu được luôn được lặp lại. Khi đây là trường hợp, người ta nói rằng đó là một sự thành công thường xuyên .
Nhưng nếu nó không được lặp lại, thì bạn có thể thử kiểm tra sự khác biệt giữa các khác biệt và xem giá trị này có phải là hằng số không. Nếu vậy, thì đó là một chuỗi bậc hai .
Ví dụ về sự thành công thường xuyên và trình tự bậc hai
Các ví dụ sau đây giúp làm rõ những gì đã được giải thích cho đến nay:
Ví dụ về sự thành công thường xuyên
Đặt dãy S = {4, 7, 10, 13, 16, ......}
Chuỗi này, ký hiệu là S, là một bộ số vô hạn, trong trường hợp này là số nguyên.
Có thể thấy rằng đó là một sự kế thừa thường xuyên, bởi vì mỗi thuật ngữ có được bằng cách thêm 3 vào thuật ngữ hoặc thành phần trước đó:
4
4 + 3 = 7
7+ 3 = 10
10+ 3 = 13
13+ 3 = 16
Đặt một cách khác: chuỗi này là thường xuyên bởi vì sự khác biệt giữa thuật ngữ tiếp theo và trước đó cho một giá trị cố định. Trong ví dụ đã cho, giá trị này là 3.
Một chuỗi thông thường thu được bằng cách thêm một số tiền cố định vào thuật ngữ trước đó, cũng được gọi là tiến trình số học. Và sự khác biệt - giữa các thuật ngữ liên tiếp được gọi là lý do và được ký hiệu là R.
Ví dụ về sự kế thừa không thường xuyên và bậc hai
Xem ngay trình tự sau:
S = {2, 6, 12, 20, 30, ....}
Khi các khác biệt liên tiếp được tính toán, các giá trị sau sẽ thu được:
6-2 = 4
12-6 = 6
20-12 = 8
30-20 = 10
Sự khác biệt của chúng không phải là hằng số, vì vậy có thể khẳng định rằng đó là một sự kế thừa không thường xuyên.
Tuy nhiên, nếu chúng ta xem xét tập hợp các khác biệt, chúng ta có một chuỗi khác, sẽ được ký hiệu là S Dif :
S khác = {4, 6, 8, 10, ....}
Chuỗi mới này là một chuỗi thông thường, vì mỗi thuật ngữ có được bằng cách thêm giá trị cố định R = 2 vào trước đó. Đó là lý do tại sao chúng ta có thể khẳng định rằng S là bậc hai.
Quy tắc chung để xây dựng một kế tiếp bậc hai
Có một công thức chung để xây dựng một chuỗi bậc hai:
T n = A ∙ n2 + B ∙ n + C
Trong công thức này, T n là số hạng của vị trí n của dãy. A, B và C là các giá trị cố định, trong khi n thay đổi từng cái một, nghĩa là 1, 2, 3, 4, ...
Trong dãy S của ví dụ trước A = 1, B = 1 và C = 0. Từ đó, công thức tạo ra tất cả các số hạng là: T n = n2 + n
Đó là:
T 1 = 12 + 1 = 2
T 2 = 22 + 2 = 6
T 3 = 32 + 3 = 12
T 5 = 52 + 5 = 30
T n = n2 + n
Sự khác biệt giữa hai số hạng liên tiếp của một chuỗi bậc hai
T n + 1 - T n = [A ∙ (n + 1) 2 + B ∙ (n + 1) + C] - [A ∙ n2 + B ∙ n + C]
Phát triển biểu thức thông qua sản phẩm đáng chú ý là:
T n + 1 - T n = A ∙ n2 + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n2 - B ∙ n - C
Bằng cách đơn giản hóa nó, bạn nhận được:
T n + 1 - T n = 2 ∙ A ∙ n + A + B
Đây là công thức đưa ra chuỗi các khác biệt S Dif có thể được viết như thế này:
Chênh lệch n = A (2n + 1) + B
Trong đó rõ ràng thuật ngữ tiếp theo là 2 ∙ Đôi khi là thuật ngữ trước. Đó là, lý do cho sự kế thừa của sự khác biệt S Dif là: R = 2 A.
Bài tập đã giải quyết thành công bậc hai
Bài tập 1
Đặt dãy S = {1, 3, 7, 13, 21, ......}. Xác định xem:
i) Nó có thường xuyên hay không
ii) Nó là bậc hai hay không
iii) Đó là bậc hai, sự kế thừa của sự khác biệt và lý do của chúng
Đáp án
i) Chúng ta hãy tính toán sự khác biệt giữa thuật ngữ sau và thuật ngữ trước:
3-1 = 2
7-3 = 4
13-7 = 6
21-13 = 8
Chúng ta có thể khẳng định rằng chuỗi S không thường xuyên, bởi vì sự khác biệt giữa các thuật ngữ liên tiếp không phải là hằng số.
ii) Sự kế thừa của các khác biệt là thường xuyên, bởi vì sự khác biệt giữa các số hạng của chúng là giá trị không đổi 2. Do đó, chuỗi gốc S là bậc hai.
iii) Chúng tôi đã xác định rằng S là bậc hai, sự kế tiếp của các khác biệt là:
S Dif = {2, 4, 6, 8, ...} và tỷ lệ của nó là R = 2.
Bài tập 2
Đặt dãy S = {1, 3, 7, 13, 21, ......} của ví dụ trước, trong đó nó đã được xác minh rằng nó là bậc hai. Xác định:
i) Công thức xác định thuật ngữ chung T n.
ii) Xác minh các điều khoản thứ ba và thứ năm.
iii) Giá trị của nhiệm kỳ thứ mười.
Đáp án
i) Công thức chung của T n là A ∙ n2 + B ∙ n + C. Sau đó, vẫn còn phải biết các giá trị của A, B và C.
Sự kế tiếp của sự khác biệt là đúng 2. Ngoài ra, đối với bất kỳ chuỗi bậc hai nào, tỷ lệ R là 2 A như đã trình bày trong các phần trước.
R = 2 A = 2 dẫn đến kết luận rằng A = 1.
Số hạng đầu tiên của chuỗi khác biệt S Dif là 2 và phải đáp ứng A ∙ (2n + 1) + B, với n = 1 và A = 1, đó là:
2 = 1 (2 ∙ 1 + 1) + B
xóa B bạn nhận được: B = -1
Khi đó, số hạng đầu tiên của S (n = 1) có giá trị 1, đó là: 1 = A ∙ 12 + B ∙ 1 + C. Như chúng ta đã biết rằng A = 1 và B = -1, thay thế là:
1 = 1 12 + (-1) 1 + C
Xóa C bạn nhận được giá trị của nó: C = 1.
Tóm lại:
A = 1, B = -1 và C = 1
Khi đó, số hạng thứ n sẽ là T n = n2 - n + 1
ii) Thuật ngữ thứ ba T 3 = 32 - 3 + 1 = 7 và nó được xác minh. T thứ năm T 5 = 52 - 5 + 1 = 21 cũng được xác minh.
iii) Nhiệm kỳ thứ mười sẽ là T 10 = 102 - 10 + 1 = 91.
Bài tập 3
Hình vẽ cho thấy một chuỗi năm hình. Lưới đại diện cho đơn vị chiều dài.
i) Xác định trình tự cho diện tích của các hình.
ii) Cho thấy rằng đó là một chuỗi bậc hai.
iii) Tìm diện tích của Hình # 10 (không hiển thị).
Đáp án
i) Chuỗi S tương ứng với diện tích của dãy số liệu là:
S = {0, 2, 6, 12, 20, . . . . . }
ii) Sự kế tiếp tương ứng với sự khác biệt liên tiếp của các điều khoản của S là:
S Dif = {2, 4, 6, 8, . . . . . }
Vì sự khác biệt giữa các số hạng liên tiếp không phải là hằng số, nên S không phải là một chuỗi thông thường. Chúng ta cần biết nếu nó là bậc hai, mà chúng ta lại tạo ra chuỗi các khác biệt, thu được:
{2, 2, 2, .......}
Vì tất cả các thuật ngữ trong chuỗi được lặp lại, nó được xác nhận rằng S là một chuỗi bậc hai.
iii) Dãy S khác thường và tỷ lệ R là 2. Sử dụng phương trình hiển thị ở trên R = 2 A, nó vẫn còn:
2 = 2 A, ngụ ý rằng A = 1.
Thuật ngữ thứ hai của chuỗi khác biệt S Dif là 4 và thuật ngữ thứ n của S Dif là
A (2n + 1) + B.
Số hạng thứ hai có n = 2. Ngoài ra, người ta đã xác định rằng A = 1, vì vậy sử dụng phương trình trước đó và thay thế chúng ta có:
4 = 1 (2 2 + 1) + B
Xóa B bạn nhận được: B = -1.
Được biết, số hạng thứ hai của S là 2 và nó phải đáp ứng công thức của số hạng chung với n = 2:
T n = A ∙ n2 + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T 2 = 2
Ý tôi là
2 = 1 22 - 1 2 + C
Chúng tôi kết luận rằng C = 0, có nghĩa là công thức đưa ra thuật ngữ chung của chuỗi S là:
T n = 1 ∙ n2 - 1 ∙ n +0 = n2 - n
Bây giờ thuật ngữ thứ năm được xác minh:
T 5 = 52 - 5 = 20
iii) Hình # 10, chưa được vẽ ở đây, sẽ có diện tích tương ứng với số hạng thứ mười của chuỗi S:
T 10 = 102 - 10 = 90
