Tính toán gần đúng bằng cách sử dụng vi sai

Một xấp xỉ trong toán học là một con số không phải là giá trị chính xác của một cái gì đó, nhưng nó gần với nó đến mức nó được coi là hữu ích như giá trị chính xác đó.

Khi các phép tính gần đúng được thực hiện trong toán học, đó là bởi vì rất khó (hoặc đôi khi không thể) để biết giá trị chính xác của những gì được muốn.

Công cụ chính khi làm việc với các xấp xỉ là vi phân của hàm.

Vi phân của hàm f, ký hiệu là Δf (x), không nhiều hơn đạo hàm của hàm f nhân với thay đổi của biến độc lập, nghĩa là f (x) = f '(x) * x.

Đôi khi df và dx được sử dụng thay vì Δf và Δx.

Phương pháp sử dụng vi sai

Công thức được áp dụng để thực hiện xấp xỉ thông qua vi phân phát sinh chỉ từ định nghĩa đạo hàm của hàm là giới hạn.

Công thức này được đưa ra bởi:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * x.

Ở đây người ta hiểu rằng Δx = x - x0, do đó, x = x0 + x. Sử dụng công thức này có thể được viết lại thành

f (x0 + x) ≈ f (x0) + f '(x0) * x.

Lưu ý rằng "x0" không phải là một giá trị tùy ý, nhưng là một giá trị sao cho dễ dàng biết f (x0); Ngoài ra, "f (x)" chỉ là giá trị chúng tôi muốn tính gần đúng.

Có cách tiếp cận tốt hơn?

Câu trả lời là có. Cái trước là đơn giản nhất trong số các xấp xỉ được gọi là «xấp xỉ tuyến tính».

Đối với các xấp xỉ chất lượng tốt hơn (sai số nhỏ hơn), các đa thức có nhiều dẫn xuất hơn gọi là "Đa thức Taylor" được sử dụng, cũng như các phương pháp số khác như phương pháp Newton-Raphson.

Chiến lược

Chiến lược cần tuân theo là:

- Chọn một hàm thích hợp f để thực hiện phép tính gần đúng và giá trị "x" sao cho f (x) là giá trị được xấp xỉ.

- Chọn một giá trị «x0», gần với «x», sao cho dễ tính f (x0).

- Tính Δx = x - x0.

- Tính đạo hàm của hàm số và f '(x0).

- Thay thế dữ liệu trong công thức.

Bài tập gần đúng đã giải

Trong những gì tiếp tục có một loạt các bài tập trong đó các phép tính gần đúng được thực hiện bằng cách sử dụng vi sai.

Bài tập đầu tiên

Xấp xỉ √3.

Giải pháp

Theo chiến lược, một chức năng thích hợp phải được chọn. Trong trường hợp này có thể thấy rằng hàm được chọn phải là f (x) = xy và giá trị gần đúng là f (3) = 3.

Bây giờ chúng ta phải chọn một giá trị "x0" gần với "3" sao cho f (x0) dễ tính toán. Chọn "x0 = 2" có nghĩa là "x0" gần với "3" nhưng f (x0) = f (2) = 2 không dễ tính.

Giá trị của «x0» thuận tiện là «4», vì «4» gần với «3» và f (x0) = f (4) = 4 = 2.

Nếu "x = 3" và "x0 = 4", thì x = 3-4 = -1. Bây giờ chúng ta tiến hành tính đạo hàm của f. Nghĩa là, f '(x) = 1/2 * x, sao cho f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Thay thế tất cả các giá trị trong công thức bạn nhận được:

3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

Nếu một máy tính được sử dụng, nó thu được 3≈1.73205 ... Điều này cho thấy kết quả trước đó là một xấp xỉ tốt của giá trị thực.

Bài tập thứ hai

Xấp xỉ √10.

Giải pháp

Như trước, chúng ta chọn hàm f (x) = √xy và trong trường hợp này là x = 10.

Giá trị của x0 phải được chọn trong cơ hội này là «x0 = 9». Khi đó ta có Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 và f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Khi đánh giá trong công thức bạn nhận được rằng

√10 = f (10) 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...

Sử dụng một máy tính bạn nhận được rằng √10 3.1622776 ... Ở đây bạn cũng có thể thấy rằng một xấp xỉ tốt đã thu được trước đó.

Bài tập thứ ba

Xấp xỉ ³√10, trong đó biểu thị gốc khối.

Giải pháp

Rõ ràng hàm nên được sử dụng trong bài tập này là f (x) = xy và giá trị của «x» phải là «10».

Một giá trị gần với "10" sao cho gốc khối của nó được biết là "x0 = 8". Khi đó ta có x = 10-8 = 2 và f (x0) = f (8) = 2. Chúng ta cũng có f '(x) = 1/3 * x² và do đó f' (8) = 1/3 * 8² = 1/3 * 64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Thay thế dữ liệu trong công thức, có được rằng:

³√10 = f (10) 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ....

Máy tính nói rằng ³√10 2, 15443469 ... Do đó, phép tính gần đúng được tìm thấy là tốt.

Bài tập thứ tư

Xấp xỉ ln (1.3), trong đó «ln» biểu thị hàm logarit tự nhiên.

Giải pháp

Đầu tiên, hàm f (x) = ln (x) được chọn và giá trị của «x» là 1, 3. Bây giờ, biết một chút về hàm logarit, chúng ta có thể biết rằng ln (1) = 0, và «1» cũng gần với «1.3». Do đó, chúng tôi chọn «x0 = 1» và vì vậy Δx = 1, 3 - 1 = 0, 3.

Mặt khác f '(x) = 1 / x, sao cho f' (1) = 1. Khi đánh giá theo công thức đã cho, bạn phải:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0, 3 = 0, 3.

Khi sử dụng máy tính, bạn phải ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Vì vậy, phép tính gần đúng là tốt.