Ranh giới lượng giác là gì? (với các bài tập đã giải quyết)

Các giới hạn lượng giác là giới hạn của các hàm sao cho các hàm này được hình thành bởi các hàm lượng giác.

Có hai định nghĩa phải được biết để hiểu cách tính giới hạn lượng giác được thực hiện.

Những định nghĩa này là:

- Giới hạn của hàm «f» khi «x» có xu hướng «b»: nó bao gồm việc tính giá trị mà f (x) tiếp cận khi «x» tiếp cận «b», mà không đạt «b», mà không đạt «b» »

- Hàm lượng giác: các hàm lượng giác lần lượt là các hàm sin, cos và tiếp tuyến, ký hiệu là sin (x), cos (x) và tan (x).

Các hàm lượng giác khác được lấy từ ba hàm được đề cập ở trên.

Giới hạn của chức năng

Để làm rõ khái niệm giới hạn của một chức năng sẽ tiến hành hiển thị một số ví dụ với các chức năng đơn giản.

- Giới hạn của f (x) = 3 khi «x» có xu hướng «8» bằng «3», vì hàm luôn luôn không đổi. Cho dù "x" có giá trị bao nhiêu, giá trị của f (x) sẽ luôn là "3".

- Giới hạn của f (x) = x-2 khi «x» có xu hướng «6» là «4». Kể từ khi «x» tiếp cận «6» thì «x-2» tiếp cận «6-2 = 4».

- Giới hạn của g (x) = x² khi «x» có xu hướng «3» bằng 9, vì khi «x» đang đến gần «3» thì «x²» đang tiến đến «3² = 9» .

Như có thể thấy trong các ví dụ trước, tính toán giới hạn bao gồm việc đánh giá giá trị mà "x" có xu hướng trong hàm và kết quả sẽ là giá trị của giới hạn, mặc dù điều này chỉ đúng với các hàm liên tục.

Có giới hạn phức tạp hơn?

Câu trả lời là có. Các ví dụ trên là những ví dụ đơn giản nhất về giới hạn. Trong sách tính toán, các bài tập giới hạn chính là những bài tập tạo ra sự không xác định của loại 0/0, /, - ∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 và (∞) ^ 0.

Các biểu thức này được gọi là không xác định vì chúng là các biểu thức mà về mặt toán học không có ý nghĩa.

Ngoài ra, tùy thuộc vào các chức năng liên quan đến giới hạn ban đầu, kết quả thu được trong việc giải quyết các lỗi không xác định có thể khác nhau trong mỗi trường hợp.

Ví dụ về giới hạn lượng giác đơn giản

Để giải quyết các giới hạn, việc biết các biểu đồ của các hàm liên quan luôn rất hữu ích. Các đồ thị của các hàm sin, cos và tiếp tuyến được hiển thị bên dưới.

Một số ví dụ về giới hạn lượng giác đơn giản là:

- Tính giới hạn của sin (x) khi «x» có xu hướng «0».

Khi bạn nhìn thấy biểu đồ, bạn có thể thấy rằng nếu «x» đang tiến đến «0» (cả bên trái và bên phải), thì biểu đồ của sin cũng đang tiến đến «0». Do đó, giới hạn của sin (x) khi «x» có xu hướng «0» là «0».

- Tính giới hạn của cos (x) khi «x» có xu hướng «0».

Quan sát biểu đồ cosin, có thể thấy rằng khi "x" gần với "0" thì biểu đồ cosin gần với "1". Điều này ngụ ý rằng giới hạn của cos (x) khi «x» có xu hướng «0» bằng «1».

Một giới hạn có thể tồn tại (là một số), như trong các ví dụ trước, nhưng cũng có thể xảy ra rằng nó không tồn tại như trong ví dụ sau.

- Giới hạn của tan (x) khi «x» có xu hướng «Π / 2» ở bên trái bằng «+», như có thể thấy trong biểu đồ. Mặt khác, giới hạn của tan (x) khi «x» có xu hướng «-Π / 2» ở bên phải bằng «-∞».

Danh tính của ranh giới lượng giác

Hai danh tính rất hữu ích khi tính giới hạn lượng giác là:

- Giới hạn của «sin (x) / x» khi «x» có xu hướng «0» bằng «1».

- Giới hạn của «(1-cos (x)) / x» khi «x» có xu hướng «0» bằng «0».

Những danh tính này được sử dụng rất thường xuyên khi có một số loại không xác định.

Bài tập đã giải quyết

Giải quyết các giới hạn sau bằng cách sử dụng các danh tính được mô tả ở trên.

- Tính giới hạn của «f (x) = sin (3x) / x» khi «x» có xu hướng «0».

Nếu hàm «f» được ước tính trong «0», sẽ không xác định được loại 0/0. Do đó, chúng tôi phải cố gắng giải quyết sự không xác định này bằng cách sử dụng các danh tính được mô tả.

Sự khác biệt duy nhất giữa giới hạn và danh tính này là số 3 xuất hiện trong hàm sin. Để áp dụng danh tính, hàm «f (x)» phải được viết lại như sau «3 * (sin (3x) / 3x)». Bây giờ, cả đối số của sin và mẫu số đều giống nhau.

Vì vậy, khi «x» có xu hướng «0», sử dụng kết quả nhận dạng «3 * 1 = 3». Do đó, giới hạn của f (x) khi «x» có xu hướng «0» bằng «3».

- Tính giới hạn của «g (x) = 1 / x - cos (x) / x» khi «x» có xu hướng «0».

Khi "x = 0" được thay thế bằng g (x), sẽ không xác định được loại -.. Để giải quyết nó, các phân số được trừ đi, điều này mang lại kết quả «(1-cos (x)) / x».

Bây giờ, khi áp dụng nhận dạng lượng giác thứ hai, chúng ta có giới hạn g (x) khi «x» có xu hướng «0» bằng 0.

- Tính giới hạn của «h (x) = 4tan (5x) / 5x» khi «x» có xu hướng «0».

Một lần nữa, nếu h (x) được ước tính trong «0», sẽ không xác định được loại 0/0.

Viết lại tan (5x) dưới dạng sin (5x) / cos (5x) dẫn đến h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Sử dụng giới hạn 4 / cos (x) khi «x» có xu hướng «0» bằng «4/1 = 4» và nhận dạng lượng giác đầu tiên chúng ta có được giới hạn của h (x) khi «x» có xu hướng một «0» bằng với «1 * 4 = 4».