Bộ phận tổng hợp: Phương pháp và bài tập đã giải

Phép chia tổng hợp là một cách đơn giản để chia một đa thức P (x) cho bất kỳ một trong các dạng d (x) = x - c. Nó là một công cụ rất hữu ích vì ngoài việc cho phép chúng ta chia đa thức, nó còn cho phép chúng ta đánh giá một đa thức P (x) trong bất kỳ số c nào, từ đó cho chúng ta biết chính xác nếu số này là 0 hay không của đa thức.

Nhờ thuật toán chia, chúng ta biết rằng nếu chúng ta có hai đa thức không đổi P (x) và d (x), có các đa thức duy nhất q (x) và r (x) sao cho P (x) = q (x ) d (x) + r (x), trong đó r (x) bằng 0 hoặc nhỏ hơn q (x). Các đa thức này được gọi là thương và phần dư hoặc phần dư tương ứng.

Trong các trường hợp khi đa thức d (x) có dạng x-c, phép chia tổng hợp cho chúng ta một cách ngắn để tìm ai là q (x) và r (x).

Phương pháp phân chia tổng hợp

Đặt P (x) = a _n xn + a _{n - 1} xn - 1 + ... + a ₁ x + a ₀ đa thức chúng ta muốn chia yd (x) = xc ước số. Để chia theo phương pháp phân chia tổng hợp, chúng tôi tiến hành như sau:

1- Chúng tôi viết các hệ số của P (x) trong hàng đầu tiên. Nếu bất kỳ sức mạnh nào của X không xuất hiện, chúng ta đặt số 0 làm hệ số của nó.

2- Ở hàng thứ hai, bên trái của một _n chúng ta đặt c và vẽ các đường phân chia như trong hình sau:

3- Chúng tôi hạ thấp hệ số hàng đầu xuống hàng thứ ba.

Trong biểu thức này b _{n - 1} = a _n

4 - Chúng tôi nhân c với hệ số dẫn đầu b _n-1 và kết quả được viết ở hàng thứ hai, nhưng một cột ở bên phải.

5- Chúng tôi thêm cột nơi chúng tôi đã viết kết quả trước đó và kết quả chúng tôi đặt nó dưới tổng đó; đó là, trong cùng một cột, hàng thứ ba.

Khi thêm, chúng ta có kết quả là _n-1 + c * b _n-1, để thuận tiện, chúng ta sẽ gọi b _n-2

6- Chúng tôi nhân c với kết quả trước đó và viết kết quả sang bên phải ở hàng thứ hai.

7- Chúng tôi lặp lại bước 5 và 6 cho đến khi đạt được hệ số ₀ .

8- Viết câu trả lời; đó là thương số và dư lượng. Khi chúng ta thực hiện phép chia đa thức bậc n giữa đa thức bậc 1, chúng ta có thương số nghiêm trọng của bậc n-1.

Các hệ số của đa thức thương số sẽ là các số của hàng thứ ba trừ hàng cuối cùng, sẽ là đa thức còn lại hoặc phần còn lại của phép chia.

Bài tập đã giải quyết

Ví dụ 1

Thực hiện phép chia sau bằng phương pháp chia tổng hợp:

(x5 + 3x4-7x3 + 2x2-8x + 1): (x + 1).

Giải pháp

Đầu tiên chúng tôi viết các hệ số cổ tức như sau:

Sau đó, chúng tôi viết c ở phía bên trái, ở hàng thứ hai, cùng với các dòng chia. Trong ví dụ này c = -1.

Chúng tôi hạ thấp hệ số dẫn đầu (trong trường hợp này là b _{n - 1} = 1) và nhân nó với -1:

Chúng tôi viết kết quả của bạn sang bên phải ở hàng thứ hai, như hình dưới đây:

Chúng tôi thêm các số trong cột thứ hai:

Chúng tôi nhân 2 với -1 và viết kết quả vào cột thứ ba, hàng thứ hai:

Chúng tôi thêm vào cột thứ ba:

Chúng tôi tiến hành tương tự cho đến khi chúng tôi đạt đến cột cuối cùng:

Do đó, chúng ta có số cuối cùng thu được là phần còn lại của phép chia và các số còn lại là các hệ số của đa thức thương. Điều này được viết như sau:

Nếu chúng tôi muốn xác minh rằng kết quả là chính xác, thì đủ để xác minh rằng phương trình sau được thực hiện:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Bằng cách này, chúng tôi có thể xác minh rằng kết quả thu được là chính xác.

Ví dụ 2

Thực hiện phép chia đa thức tiếp theo bằng phương pháp chia tổng hợp

(7x3-x + 2): (x + 2)

Giải pháp

Trong trường hợp này, chúng ta có thuật ngữ x2 không xuất hiện, vì vậy chúng ta sẽ viết 0 là hệ số của nó. Do đó, đa thức sẽ vẫn là 7x3 + 0x2-x + 2.

Chúng tôi viết các hệ số của chúng liên tiếp, đây là:

Chúng ta viết giá trị của C = -2 sang bên trái trong hàng thứ hai và vẽ các đường phân chia.

Chúng tôi hạ thấp hệ số dẫn đầu b _{n - 1} = 7 và nhân nó với -2, viết kết quả của nó ở hàng thứ hai sang phải.

Chúng tôi thêm và tiến hành như đã giải thích trước đó, cho đến khi chúng tôi đạt đến thuật ngữ cuối cùng:

Trong trường hợp này, phần còn lại là r (x) = - 52 và thương số thu được là q (x) = 7x2-14x + 27.

Ví dụ 3

Một cách khác để sử dụng phép chia tổng hợp là như sau: giả sử chúng ta có P (x) đa thức bậc n và chúng ta muốn biết giá trị nào khi đánh giá nó trong x = c.

Theo thuật toán của phép chia, chúng ta có thể viết đa thức P (x) theo cách sau:

Trong biểu thức đã nói q (x) và r (x) lần lượt là thương số và phần còn lại. Bây giờ, nếu d (x) = x- c, khi đánh giá c trong đa thức chúng ta tìm thấy như sau:

Đây là lý do tại sao chúng ta chỉ phải tìm ar (x), và điều này chúng ta có thể làm được nhờ vào phân chia tổng hợp.

Ví dụ: chúng ta có đa thức P (x) = x7-9x6 + 19x5 + 12x4-3x3 + 19x2-37x-37 và chúng tôi muốn biết giá trị của nó khi đánh giá nó là bao nhiêu trong x = 5. yd (x) = x -5 theo phương pháp chia tổng hợp:

Khi các thao tác được thực hiện, chúng tôi biết rằng chúng tôi có thể viết P (x) theo cách sau:

P (x) = (x6-4x5 -x4 + 7x3 + 32x2 + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Do đó, khi đánh giá nó phải:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Như chúng ta có thể thấy, có thể sử dụng phép chia tổng hợp để tìm giá trị của đa thức khi đánh giá nó trong c thay vì chỉ đơn giản thay thế c bằng x.

Nếu chúng ta cố gắng đánh giá P (5) theo cách truyền thống, chúng ta sẽ phải thực hiện một số tính toán có xu hướng trở nên tẻ nhạt.

Ví dụ 4

Thuật toán của phép chia cho đa thức cũng được thực hiện cho các đa thức có hệ số phức và do đó, chúng ta có phương pháp chia tổng hợp cũng hoạt động cho các đa thức đã nói. Tiếp theo chúng ta sẽ thấy một ví dụ.

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp chia tổng hợp để chỉ ra rằng z = 1+ 2i là một số không của đa thức P (x) = x3 + (1 + i) x2 - (1 + 2i) x + (15 + 5i); nghĩa là phần còn lại của phép chia P (x) giữa d (x) = x - z bằng 0.

Chúng ta tiến hành như trước: ở hàng đầu tiên chúng ta viết các hệ số của P (x), sau đó trong lần thứ hai chúng ta viết z và vẽ các đường phân chia.