Toán học rời rạc: Những gì họ phục vụ, Lý thuyết về bộ
Toán học rời rạc tương ứng với một lĩnh vực toán học chịu trách nhiệm nghiên cứu tập hợp các số tự nhiên; đó là tập hợp các số có thể đếm được hữu hạn và vô hạn trong đó các phần tử có thể được tính riêng rẽ, từng phần một.
Những bộ này được gọi là bộ rời rạc; Một ví dụ về các bộ này là toàn bộ số, biểu đồ hoặc biểu thức logic và chúng được áp dụng trong các lĩnh vực khoa học khác nhau, chủ yếu trong điện toán hoặc điện toán.
Mô tả
Trong các quá trình toán học rời rạc là có thể đếm được, dựa trên toàn bộ số. Điều này có nghĩa là số thập phân không được sử dụng và do đó, gần đúng hoặc giới hạn không được sử dụng, như trong các lĩnh vực khác. Ví dụ: một ẩn số có thể bằng 5 hoặc 6, nhưng không bao giờ 4, 99 hoặc 5, 9.
Mặt khác, trong biểu diễn đồ họa, các biến sẽ rời rạc và được đưa ra từ một tập hợp các điểm hữu hạn, được tính từng điểm một, như được thấy trong hình ảnh:
Toán học rời rạc được sinh ra bởi nhu cầu có được một nghiên cứu chính xác có thể được kết hợp và thử nghiệm, để áp dụng nó trong các lĩnh vực khác nhau.
Việc sử dụng toán học rời rạc là gì?
Toán học rời rạc được sử dụng trong nhiều lĩnh vực. Trong số những cái chính là:
Kết hợp
Nghiên cứu tập hợp hữu hạn trong đó các yếu tố có thể được sắp xếp hoặc kết hợp và tính.
Lý thuyết phân phối rời rạc
Nghiên cứu các sự kiện xảy ra trong không gian nơi các mẫu có thể đếm được, trong đó các phân phối liên tục được sử dụng để xấp xỉ các phân phối rời rạc hoặc theo cách ngược lại.
Lý thuyết thông tin
Nó đề cập đến việc mã hóa thông tin, được sử dụng để thiết kế và truyền tải và lưu trữ dữ liệu, ví dụ như tín hiệu tương tự.
CNTT
Thông qua các vấn đề toán học rời rạc được giải quyết bằng các thuật toán, cũng như nghiên cứu những gì có thể được tính toán và thời gian cần thiết để làm điều đó (độ phức tạp).
Tầm quan trọng của toán học rời rạc trong lĩnh vực này đã tăng lên trong những thập kỷ gần đây, đặc biệt là đối với sự phát triển của ngôn ngữ lập trình và phần mềm .
Mật mã
Nó dựa trên toán học rời rạc để tạo ra các cấu trúc bảo mật hoặc phương thức mã hóa. Một ví dụ về ứng dụng này là mật khẩu, gửi các bit riêng biệt có chứa thông tin.
Thông qua nghiên cứu các thuộc tính của số nguyên và số nguyên tố (lý thuyết số) có thể tạo hoặc phá hủy các phương thức bảo mật này.
Logic
Các cấu trúc rời rạc được sử dụng, thường tạo thành một tập hợp hữu hạn, để chứng minh các định lý hoặc, ví dụ, xác minh phần mềm.
Lý thuyết đồ thị
Nó cho phép giải quyết các vấn đề logic, sử dụng các nút và đường tạo thành một loại biểu đồ, như trong hình sau:
Đây là một lĩnh vực liên kết chặt chẽ với toán học rời rạc vì các biểu thức đại số là rời rạc. Thông qua đó, các mạch điện tử, bộ xử lý, lập trình (đại số Boolean) và cơ sở dữ liệu (đại số quan hệ) được phát triển.
Hình học
Nghiên cứu các tính chất tổ hợp của các đối tượng hình học, chẳng hạn như lớp phủ của mặt phẳng. Mặt khác, hình học tính toán giúp phát triển các vấn đề hình học bằng cách áp dụng các thuật toán.
Lý thuyết về bộ
Trong các bộ toán học rời rạc (hữu hạn và vô hạn số) là mục tiêu chính của nghiên cứu. Lý thuyết về các bộ được xuất bản bởi George Cantor, người đã chỉ ra rằng tất cả các bộ vô hạn có cùng kích thước.
Một tập hợp là một nhóm các yếu tố (số, sự vật, động vật và con người, trong số những người khác) được xác định rõ; nghĩa là, có một mối quan hệ theo đó mỗi phần tử thuộc về một tập hợp, và được biểu thị, ví dụ, A.
Trong toán học có các tập hợp khác nhau nhóm các số nhất định theo đặc điểm của chúng. Vì vậy, ví dụ, bạn có:
- Tập hợp các số tự nhiên N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... +}.
- Tập hợp các số nguyên E = {-∞ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... +}.
- Tập hợp các số hữu tỷ Q * = {-∞ ..., - ¼, - ½, 0, ¼, ½, ... ∞}.
- Tập hợp các số thực R = {-∞ ..., - ½, -1, 0, ½, 1, ... ∞}.
Các bộ được đặt tên bằng các chữ cái của bảng chữ cái, viết hoa; trong khi các phần tử được đặt tên bằng chữ in thường, bên trong dấu ngoặc ({}) và được phân tách bằng dấu phẩy (, ). Chúng thường được thể hiện trong các sơ đồ như Venn và Caroll, cũng như tính toán.
Với các hoạt động cơ bản như liên minh, giao nhau, bổ sung, khác biệt và sản phẩm của Cartesian, các bộ và các yếu tố của chúng được quản lý, dựa trên mối quan hệ thuộc về.
Có một số loại tập hợp, được nghiên cứu nhiều nhất trong toán học rời rạc như sau:
Bộ hữu hạn
Nó là một trong đó có một số phần tử hữu hạn và tương ứng với một số tự nhiên. Do đó, ví dụ, A = {1, 2, 3, 4} là tập hợp hữu hạn có 4 phần tử.
Bộ kế toán vô hạn
Nó là một trong đó có sự tương ứng giữa các phần tử của tập hợp và số tự nhiên; điều đó có nghĩa là, từ một phần tử, tất cả các phần tử của một tập hợp có thể được liệt kê liên tiếp.
Theo cách này, mỗi phần tử sẽ tương ứng với từng phần tử của tập hợp các số tự nhiên. Ví dụ:
Tập hợp các số nguyên Z = {... -2, -1, 0, 1, 2 ...} có thể được liệt kê là Z = {0, 1, -1, 2, -2 ...}. Theo cách này, có thể tạo sự tương ứng một-một giữa các phần tử của Z và các số tự nhiên, như trong hình sau:
Đó là một phương pháp được sử dụng để giải các bài toán liên tục (mô hình và phương trình) phải được chuyển đổi thành các bài toán rời rạc, trong đó giải pháp được biết đến với sự gần đúng của giải pháp của bài toán liên tục.
Nhìn theo một cách khác, sự rời rạc cố gắng trích xuất một lượng hữu hạn từ một tập hợp điểm vô hạn; theo cách này, một đơn vị liên tục được chuyển đổi thành các đơn vị riêng lẻ.
Nói chung phương pháp này được sử dụng trong phân tích số, ví dụ như trong giải pháp của phương trình vi phân, bằng một hàm được biểu thị bằng một lượng dữ liệu hữu hạn trong miền của nó, ngay cả khi nó liên tục.
Một ví dụ khác về sự rời rạc là việc sử dụng để chuyển đổi tín hiệu tương tự sang kỹ thuật số, khi các đơn vị tín hiệu liên tục được chuyển đổi thành các đơn vị riêng lẻ (chúng bị rời rạc), sau đó được mã hóa và định lượng để thu được tín hiệu số.
