Logic toán học: nguồn gốc, những gì nghiên cứu, các loại

Logic toán học hoặc logic biểu tượng là một ngôn ngữ toán học bao gồm các công cụ cần thiết bằng cách mà lý luận toán học có thể được xác nhận hoặc phủ nhận.

Người ta biết rằng trong toán học không có sự mơ hồ. Đưa ra một đối số toán học, điều này là hợp lệ hoặc đơn giản là không. Nó không thể sai và đúng cùng một lúc.

Một khía cạnh đặc biệt của toán học là nó có một ngôn ngữ chính thức và nghiêm ngặt thông qua đó có thể xác định tính hợp lệ của một lý luận. Điều gì làm cho lý luận nhất định hoặc bất kỳ bằng chứng toán học không thể bác bỏ? Đó là những gì logic toán học nói về.

Do đó, logic là môn học của toán học chịu trách nhiệm nghiên cứu lý luận và trình diễn toán học, đồng thời cung cấp các công cụ để có thể suy ra một kết luận chính xác từ các phát biểu hoặc mệnh đề trước đó.

Để làm điều này, nó sử dụng các tiên đề và các khía cạnh toán học khác sẽ được phát triển sau này.

Nguồn gốc và lịch sử

Ngày chính xác liên quan đến nhiều khía cạnh của logic toán học là không chắc chắn. Tuy nhiên, hầu hết các thư tịch về chủ đề này đều truy nguyên nguồn gốc của điều này với Hy Lạp cổ đại.

Aristotle

Sự khởi đầu của việc đối xử chặt chẽ với logic được quy cho Aristotle, người đã viết một tập hợp các tác phẩm logic, sau đó được thu thập và phát triển bởi các nhà triết học và nhà khoa học khác nhau, cho đến thời Trung cổ. Điều này có thể được coi là "logic cũ".

Sau đó, trong thời đại được gọi là Thời đại đương đại, Leibniz, bị thúc đẩy bởi một mong muốn sâu sắc là thiết lập một ngôn ngữ phổ quát để lý luận toán học, và các nhà toán học khác như Gottlob Frege và Giuseppe Peano, đã ảnh hưởng lớn đến sự phát triển của logic toán học với những đóng góp to lớn, trong số đó, Peano Axioms, công thức tính chất không thể thiếu của số tự nhiên.

Các nhà toán học George Boole và Georg Cantor cũng có ảnh hưởng lớn vào thời điểm này, với những đóng góp quan trọng trong lý thuyết tập hợp và bảng chân lý, nhấn mạnh, trong số các khía cạnh khác, Đại số Boolean (của George Boole) và Tiên đề của sự lựa chọn (bởi George Cantor)

Ngoài ra còn có Augustus De Morgan với các định luật nổi tiếng của Morgan, trong đó suy ngẫm về sự từ chối, liên từ, bất đồng và điều kiện giữa các mệnh đề, chìa khóa cho sự phát triển của Logic tượng trưng và John Venn với các sơ đồ nổi tiếng của Venn.

Trong thế kỷ XX, khoảng giữa năm 1910 và 1913, nổi bật là Bertrand Russell và Alfred North Whitehead với ấn phẩm của ông về Princia mathicala, một bộ sách thu thập, phát triển và đưa ra một loạt các tiên đề và kết quả logic.

Toán học logic học cái gì?

Đề xuất

Logic toán học bắt đầu với việc nghiên cứu các mệnh đề. Một đề xuất là một sự khẳng định rằng không có bất kỳ sự mơ hồ nào có thể được nói nếu nó đúng hay không. Sau đây là các ví dụ về các mệnh đề:

• 2 + 4 = 6.
• 52 = 35.
• Vào năm 1930, có một trận động đất ở châu Âu.

Đầu tiên là một mệnh đề đúng và thứ hai là một mệnh đề sai. Thứ ba, mặc dù có thể người đọc nó không biết nó là đúng hay ngay lập tức, đó là một tuyên bố có thể được xác minh và xác định nếu nó thực sự xảy ra hay không.

Sau đây là các ví dụ về biểu thức không phải là mệnh đề:

• Cô ấy tóc vàng.
• 2x = 6
• Hãy chơi nào!
• Bạn có thích phim không?

Trong mệnh đề đầu tiên, nó không được chỉ định "cô ấy" là ai, do đó không có gì có thể được khẳng định. Trong mệnh đề thứ hai, những gì được biểu thị bằng "x" chưa được chỉ định. Nếu thay vào đó, người ta nói rằng 2x = 6 cho một số tự nhiên x, trong trường hợp này, nó sẽ tương ứng với một mệnh đề, trên thực tế là đúng, vì với x = 3, nó được thực hiện.

Hai tuyên bố cuối cùng không tương ứng với một đề xuất, vì không có cách nào để từ chối hoặc khẳng định chúng.

Hai hoặc nhiều mệnh đề có thể được kết hợp (hoặc kết nối) bằng cách sử dụng các đầu nối liên kết (hoặc đầu nối) đã biết. Đó là:

• Từ chối: "Trời không mưa."
• Bất đồng: "Luisa đã mua một chiếc túi màu trắng hoặc xám".
• Kết hợp: "42 = 16 và 2 × 5 = 10".
• Có điều kiện: "Nếu trời mưa, thì tôi không đến phòng tập thể dục chiều nay."
• Người đi xe đạp: "Tôi đi đến phòng tập thể dục chiều nay nếu và chỉ khi trời không mưa".

Một mệnh đề không sở hữu bất kỳ liên kết nào trước đó, được gọi là mệnh đề đơn giản (hoặc nguyên tử). Ví dụ: "2 nhỏ hơn 4", là một mệnh đề đơn giản. Các mệnh đề có một số liên kết được gọi là các mệnh đề ghép, ví dụ "1 + 3 = 4 và 4 là số chẵn".

Các tuyên bố được thực hiện bằng các mệnh đề thường dài, vì vậy thật tẻ nhạt khi viết chúng luôn như chúng ta đã thấy cho đến nay. Vì lý do này, một ngôn ngữ tượng trưng được sử dụng. Các đề xuất thường được thể hiện bằng các chữ cái viết hoa như P, Q, R, S, v.v. Và liên kết tượng trưng như sau:

Vậy đó

Đối ứng của một đề xuất có điều kiện

là mệnh đề

Và contrapositive (hoặc contrapositive) của một đề xuất

là mệnh đề

Bảng chân lý

Một khái niệm quan trọng khác trong logic là các bảng chân lý. Giá trị thật của một mệnh đề là hai khả năng chúng ta có cho một mệnh đề: true (sẽ được ký hiệu là V và chúng ta sẽ nói rằng giá trị thật của nó là V) hoặc false (sẽ được ký hiệu là F và sẽ nói rằng giá trị của nó nó thực sự là F).

Giá trị thật của một mệnh đề ghép phụ thuộc hoàn toàn vào giá trị chân lý của các mệnh đề đơn giản xuất hiện trong nó.

Để làm việc chung hơn, chúng tôi sẽ không xem xét các đề xuất cụ thể, nhưng các biến mệnh đề p, q, r, s, v.v., sẽ đại diện cho bất kỳ mệnh đề nào.

Với các biến này và các kết nối logic, các công thức mệnh đề nổi tiếng được hình thành giống như các mệnh đề ghép được xây dựng.

Nếu mỗi biến xuất hiện trong một công thức mệnh đề được thay thế bằng một mệnh đề, thì một mệnh đề tổng hợp được lấy.

Dưới đây là các bảng chân lý cho các kết nối hợp lý:

Có những công thức mệnh đề chỉ nhận giá trị V trong bảng chân lý của chúng, nghĩa là cột cuối cùng của bảng chân lý của chúng chỉ có giá trị V. Loại công thức này được gọi là tautology. Ví dụ:

Sau đây là bảng chân lý của công thức

Người ta nói rằng một công thức α hợp lý ngụ ý một công thức khác, nếu α là đúng mỗi lần β là đúng. Nghĩa là, trong bảng chân lý của α và, các hàng trong đó α có V, cũng có V. Chỉ các hàng trong đó α có giá trị V được quan tâm. Ký hiệu cho hàm ý logic là như sau :

Bảng sau đây tóm tắt các thuộc tính của hàm ý logic:

Người ta nói rằng hai công thức mệnh đề là tương đương logic nếu các bảng chân lý của chúng giống hệt nhau. Các ký hiệu sau đây được sử dụng để thể hiện sự tương đương logic:

Các bảng sau đây tóm tắt các thuộc tính của sự tương đương logic:

Các loại logic toán học

Có nhiều loại logic khác nhau, đặc biệt nếu người ta tính đến logic thực dụng hoặc không chính thức chỉ ra triết học, trong số các lĩnh vực khác.

Theo như toán học, các loại logic có thể được tóm tắt như sau:

• Logic hình thức hoặc Aristoteles (logic cổ).
• Logic đề xuất: chịu trách nhiệm nghiên cứu mọi thứ liên quan đến tính hợp lệ của các lập luận và mệnh đề sử dụng ngôn ngữ chính thức và cũng mang tính biểu tượng.
• Logic biểu tượng: tập trung vào nghiên cứu các tập hợp và các thuộc tính của chúng, cũng với một ngôn ngữ chính thức và tượng trưng, ​​và được liên kết sâu sắc với logic mệnh đề.
• Kết hợp logic: một trong những phát triển gần đây nhất, liên quan đến các kết quả có thể được phát triển bằng thuật toán.
• Lập trình logic: được sử dụng trong các gói và ngôn ngữ lập trình khác nhau.

Khu vực

Trong số các lĩnh vực sử dụng logic toán học một cách không thể thiếu trong việc phát triển lý luận và lập luận của họ, họ nhấn mạnh triết học, lý thuyết tập hợp, lý thuyết số, toán học đại số xây dựng và ngôn ngữ lập trình.