Luật của Morgan

Mắt Morgan là các quy tắc suy luận được sử dụng trong logic mệnh đề, nó thiết lập kết quả của việc từ chối một hàm tách rời và kết hợp của các mệnh đề hoặc các biến mệnh đề. Những định luật này được định nghĩa bởi nhà toán học Augustus De Morgan.

Các định luật của Morgan đại diện cho một công cụ rất hữu ích để chứng minh tính hợp lệ của một lý luận toán học. Sau đó, chúng được khái quát hóa trong khái niệm tập hợp của nhà toán học George Boole.

Việc khái quát hóa này được thực hiện bởi Boole hoàn toàn tương đương với các luật ban đầu của Morgan, nhưng nó được phát triển riêng cho các bộ hơn là cho các mệnh đề. Sự khái quát hóa này còn được gọi là luật của Morgan.

Ôn tập logic mệnh đề

Trước khi xem xét những gì luật của Morgan cụ thể và cách chúng được sử dụng, thật thuận tiện để ghi nhớ một số khái niệm cơ bản của logic mệnh đề. (Để biết thêm chi tiết, xem bài viết về logic mệnh đề).

Trong lĩnh vực logic toán học (hoặc mệnh đề), suy luận là một kết luận được phát ra từ một tập hợp các tiền đề hoặc giả thuyết. Kết luận này, cùng với các tiền đề đã nói ở trên, đưa ra những gì được gọi là lý luận toán học.

Lý do này phải có thể được chứng minh hoặc từ chối; điều đó có nghĩa là, không phải tất cả các suy luận hoặc kết luận trong một lý luận toán học đều hợp lệ.

Ngụy biện

Một suy luận sai lầm phát ra từ các giả định nhất định được cho là đúng được gọi là sai lầm. Ngụy biện có đặc thù là những lập luận có vẻ đúng, nhưng về mặt toán học thì không.

Logic đề xuất phụ trách phát triển chính xác và cung cấp các phương pháp bằng cách mà người ta có thể, mà không có bất kỳ sự mơ hồ nào, xác nhận hoặc bác bỏ một lý luận toán học; đó là, suy ra một kết luận hợp lệ từ các cơ sở. Các phương pháp này được gọi là quy tắc suy luận, trong đó luật của Morgan là một phần.

Đề xuất

Các yếu tố thiết yếu của logic mệnh đề là các mệnh đề. Các đề xuất là các tuyên bố về việc người ta có thể nói liệu chúng có hợp lệ hay không, nhưng chúng không thể đúng hoặc sai cùng một lúc. Không nên có sự mơ hồ trong vấn đề này.

Cũng giống như các số có thể được kết hợp thông qua các phép toán cộng, trừ, nhân và chia, các mệnh đề có thể được vận hành bằng phương pháp logic liên kết (hoặc trình kết nối) đã biết: phủ định (, "không"), phân biệt (V, "O"), kết hợp (Ʌ, "và"), có điều kiện (→, "nếu ..., sau đó ...") và nhị phân (↔, "có, và chỉ khi").

Để làm việc chung hơn, thay vì xem xét các mệnh đề cụ thể, chúng tôi xem xét các biến mệnh đề đại diện cho bất kỳ mệnh đề nào và thường được biểu thị bằng các chữ cái viết thường p, q, r, s, v.v.

Một công thức mệnh đề là sự kết hợp của các biến mệnh đề thông qua một số liên kết logic. Nói cách khác, nó là một thành phần của các biến mệnh đề. Chúng thường được ký hiệu bằng các chữ cái Hy Lạp.

Người ta nói rằng một công thức mệnh đề hàm ý một cách logic khác khi cái sau đúng mỗi lần đầu tiên là đúng. Điều này được ký hiệu là:

Khi hàm ý logic giữa hai công thức mệnh đề là đối ứng - nghĩa là khi hàm ý trước đó cũng hợp lệ theo hướng ngược lại - các công thức được cho là tương đương về mặt logic và được biểu thị bằng

Tương đương logic là một loại bình đẳng giữa các công thức mệnh đề và cho phép cái này được thay thế bằng cái kia khi cần thiết.

Luật của Morgan

Luật của Morgan bao gồm hai tương đương logic giữa hai hình thức mệnh đề, cụ thể là:

Các luật này cho phép phân tách sự phủ định của một sự tách rời hoặc kết hợp, như sự phủ định của các biến liên quan.

Đầu tiên có thể được đọc như sau: phủ định của một phân tách bằng với sự kết hợp của các phủ định. Và cái thứ hai đọc như thế này: phủ định của một kết hợp là sự phân biệt của các phủ định.

Nói cách khác, để từ chối sự phân ly của hai biến mệnh đề tương đương với sự kết hợp của phủ định của cả hai biến. Tương tự như vậy, để từ chối sự kết hợp của hai biến mệnh đề tương đương với sự phân biệt các phủ định của cả hai biến.

Như đã đề cập trước đó, việc thay thế tương đương logic này giúp chứng minh các kết quả quan trọng, cùng với các quy tắc suy luận hiện có khác. Với những điều này, bạn có thể đơn giản hóa nhiều công thức mệnh đề, để chúng hữu ích hơn khi làm việc.

Sau đây là một ví dụ về một bằng chứng toán học sử dụng các quy tắc suy luận, trong số các luật của Morgan. Cụ thể, nó được hiển thị rằng công thức:

tương đương với:

Cái sau đơn giản hơn để hiểu và phát triển.

Trình diễn

Điều đáng nói là tính hợp lệ của các luật của Morgan có thể được chứng minh bằng toán học. Một cách là bằng cách so sánh các bảng sự thật của bạn.

Bộ

Các quy tắc suy luận tương tự và các khái niệm logic được áp dụng cho các mệnh đề, cũng có thể được phát triển khi xem xét các tập hợp. Đây là những gì được gọi là đại số Boolean, sau nhà toán học George Boole.

Để phân biệt các trường hợp, cần phải thay đổi ký hiệu và chuyển thành tập hợp, tất cả các khái niệm đã thấy của logic mệnh đề.

Một tập hợp là một tập hợp các đối tượng. Các bộ được ký hiệu bằng chữ in hoa A, B, C, X, ... và các phần tử của một bộ được ký hiệu bằng các chữ cái thường a, b, c, x, v.v. Khi một phần tử a thuộc về một tập X, nó được ký hiệu là:

Khi nó không thuộc về X, ký hiệu là:

Cách để thể hiện các bộ là đặt các phần tử của chúng bên trong các phím. Ví dụ: tập hợp các số tự nhiên được biểu thị bằng:

Các bộ cũng có thể được trình bày mà không cần viết một danh sách rõ ràng các yếu tố của chúng. Chúng có thể được thể hiện dưới dạng {:}. Hai điểm được đọc "sao cho". Một biến đại diện cho các phần tử của tập hợp được đặt ở bên trái của hai điểm và thuộc tính hoặc điều kiện mà chúng thỏa mãn được đặt ở phía bên phải. Đây là:

Ví dụ: tập hợp các số nguyên lớn hơn -4 có thể được biểu thị dưới dạng:

Hoặc tương đương, và viết tắt nhiều hơn, như:

Tương tự, các biểu thức sau đây biểu thị các tập hợp số chẵn và số lẻ, tương ứng:

Liên minh, ngã tư và bổ sung của bộ

Tiếp theo chúng ta sẽ thấy các tương tự của liên kết logic trong trường hợp các tập hợp, là một phần của các hoạt động cơ bản giữa các bộ.

Liên minh và ngã tư

Liên kết và giao điểm của các bộ được xác định, tương ứng, theo cách sau:

Ví dụ, hãy xem xét các bộ:

Sau đó, bạn phải:

Bổ sung

Phần bù của một tập hợp được hình thành bởi các phần tử không thuộc về tập hợp đó (cùng loại mà bản gốc đại diện). Phần bù của tập A, được ký hiệu là:

Ví dụ, trong các số tự nhiên, phần bù của tập hợp các số chẵn là số lẻ và ngược lại.

Để xác định phần bù của một tập hợp, nó phải rõ ràng ngay từ đầu tập hợp phổ quát hoặc chính của các phần tử đang được xem xét. Ví dụ, không thể xem xét phần bù của một tập hợp trên các số tự nhiên trên các số hữu tỷ.

Bảng sau đây cho thấy mối quan hệ hoặc sự tương tự tồn tại giữa các hoạt động trên các tập xác định trước đó và các liên kết của logic mệnh đề: