Thuộc tính của đẳng thức

Các tính chất của đẳng thức đề cập đến mối quan hệ giữa hai đối tượng toán học, là số hoặc biến. Nó được biểu thị bằng ký hiệu «=», luôn đi giữa hai đối tượng này. Biểu thức này được sử dụng để thiết lập rằng hai đối tượng toán học đại diện cho cùng một đối tượng; nói cách khác, hai đối tượng là cùng một thứ.

Có những trường hợp trong đó sử dụng bình đẳng là không đáng kể. Ví dụ, rõ ràng là 2 = 2. Tuy nhiên, khi nói đến các biến, nó không còn tầm thường và có cách sử dụng cụ thể. Ví dụ: nếu bạn có y = x và mặt khác x = 7, bạn có thể kết luận rằng y = 7 cũng vậy.

Ví dụ trước được dựa trên một trong các tính chất của đẳng thức, như sẽ thấy trong thời gian ngắn. Các tính chất này là không thể thiếu để giải các phương trình (đẳng thức liên quan đến các biến), tạo thành một phần rất quan trọng trong toán học.

Các tính chất của bình đẳng là gì?

Phản xạ tài sản

Tính chất phản xạ, trong trường hợp đẳng thức, nói rằng mọi số đều bằng chính nó và được biểu thị bằng b = b cho bất kỳ số thực b nào.

Trong trường hợp cụ thể của sự bình đẳng, tài sản này dường như là hiển nhiên, nhưng trong một loại mối quan hệ khác giữa các số thì không. Nói cách khác, không phải mọi mối quan hệ của các số thực đều đáp ứng tính chất này. Ví dụ: trường hợp như vậy của mối quan hệ "nhỏ hơn" (<); không có số nào nhỏ hơn chính nó

Tài sản đối xứng

Tính chất đối xứng cho đẳng thức nói rằng nếu a = b, thì b = a. Bất kể thứ tự nào được sử dụng trong các biến, điều này sẽ được bảo toàn bởi mối quan hệ bình đẳng.

Một sự tương tự nhất định của tài sản này có thể được quan sát với tính chất giao hoán trong trường hợp bổ sung. Ví dụ, vì thuộc tính này, nó tương đương với việc viết y = 4 hoặc 4 = y.

Tài sản bắc cầu

Tính chất bắc cầu trong đẳng thức nói rằng nếu a = b và b = c, thì a = c. Ví dụ: 2 + 7 = 9 và 9 = 6 + 3; do đó, bằng tính chất bắc cầu, chúng ta có 2 + 7 = 6 + 3.

Một ứng dụng đơn giản như sau: giả sử Julian 14 tuổi và Mario bằng tuổi Rosa. Nếu Rosa bằng tuổi Julian, Mario bao nhiêu tuổi?

Đằng sau kịch bản này, thuộc tính bắc cầu được sử dụng hai lần. Về mặt toán học, nó được hiểu như thế này: là "một" tuổi của Mario, "b" Tuổi của Rosa và "c" Tuổi của Julian. Được biết, b = c và c = 14.

Đối với tính chất bắc cầu chúng ta có b = 14; đó là Rosa 14 tuổi. Vì a = b và b = 14, sử dụng lại thuộc tính bắc cầu, chúng ta có a = 14; điều đó có nghĩa là, tuổi của Mario cũng là 14 tuổi.

Tài sản đồng phục

Tài sản thống nhất là, nếu cả hai mặt của một đẳng thức được thêm hoặc nhân với cùng một số tiền, thì đẳng thức được giữ nguyên. Ví dụ: nếu 2 = 2, thì 2 + 3 = 2 + 3, rõ ràng, thì 5 = 5. Khách sạn này có nhiều tiện ích hơn khi giải phương trình.

Ví dụ: giả sử bạn được yêu cầu giải phương trình x - 2 = 1. Thật thuận tiện để nhớ rằng việc giải một phương trình bao gồm xác định rõ ràng biến (hoặc biến) có liên quan, dựa trên một số cụ thể hoặc một biến được chỉ định trước đó.

Quay trở lại phương trình x-2 = 1, điều cần làm là tìm rõ ràng giá trị của x. Đối với điều này, các biến phải được xóa.

Nó đã được dạy sai rằng trong trường hợp này, vì số 2 là âm, nó chuyển sang phía bên kia của bình đẳng với một dấu hiệu tích cực. Nhưng nó không đúng khi nói như vậy.

Về cơ bản, những gì đang được thực hiện là áp dụng tài sản thống nhất, như chúng ta sẽ thấy dưới đây. Ý tưởng là để xóa "x"; đó là, để nó một mình ở một bên của phương trình. Theo quy ước, nó thường được để lại ở phía bên trái.

Với mục đích này, số bạn muốn "loại bỏ" là -2. Cách để làm điều đó sẽ là thêm 2, vì -2 + 2 = 0 và x + 0 = 0. Để làm điều này mà không làm thay đổi sự bình đẳng, hoạt động tương tự phải được áp dụng ở phía bên kia.

Điều này cho phép nhận ra thuộc tính đồng nhất: như x-2 = 1, nếu số 2 được thêm vào cả hai mặt của đẳng thức, thuộc tính đồng nhất nói rằng điều tương tự không bị thay đổi. Khi đó ta có x-2 + 2 = 1 + 2, tương đương với việc nói rằng x = 3. Với phương trình này sẽ được giải quyết.

Tương tự, nếu bạn muốn giải phương trình (1/5) y - 1 = 9, bạn có thể tiến hành sử dụng thuộc tính thống nhất như sau:

Tổng quát hơn, các tuyên bố sau có thể được thực hiện:

- Nếu ab = cb, thì a = c.

- Nếu xb = y thì x = y + b.

- Nếu (1 / a) z = b, thì z = a ×

- Nếu (1 / c) a = (1 / c) b, thì a = b.

Hủy tài sản

Tài sản hủy là một trường hợp cụ thể của quyền sở hữu thống nhất, đặc biệt xem xét trường hợp trừ và chia (cuối cùng, cũng tương ứng với phép cộng và phép nhân). Khách sạn này xử lý trường hợp này một cách riêng biệt.

Ví dụ: nếu 7 + 2 = 9, thì 7 = 9-2. Hoặc nếu 2y = 6, thì y = 3 (chia cho hai bên).

Tương tự như trường hợp trước, thông qua thuộc tính hủy, các câu lệnh sau có thể được thiết lập:

- Nếu a + b = c + b, thì a = c.

- Nếu x + b = y, thì x = yb.

- Nếu az = b, thì z = b / a.

- Nếu ca = cb, thì a = b.

Tài sản thay thế

Nếu chúng ta biết giá trị của một đối tượng toán học, thuộc tính thay thế nói rằng giá trị này có thể được thay thế trong bất kỳ phương trình hoặc biểu thức nào. Ví dụ: nếu b = 5 và a = bx, thì thay thế giá trị của "b" trong đẳng thức thứ hai, chúng ta có a = 5x.

Một ví dụ khác như sau: nếu "m" chia "n" và "n" chia "m", thì đó phải là m = n.

Trong thực tế, để nói rằng "m" chia "n" (hoặc tương đương, "m" là một ước của "n") có nghĩa là phép chia m không chính xác; nghĩa là, bằng cách chia "m" cho "n" bạn sẽ có được một số nguyên, không phải là số thập phân. Điều này có thể được thể hiện bằng cách nói rằng tồn tại một số nguyên "k" sao cho m = k × n.

Vì "n" cũng chia "m", nên tồn tại một số nguyên "p" sao cho n = p × m. Đối với thuộc tính thay thế, chúng ta có n = p × k × n và để điều này xảy ra, có hai khả năng: n = 0, trong trường hợp này chúng ta sẽ có danh tính 0 = 0; op × k = 1, trong đó danh tính n = n sẽ phải có.

Giả sử rằng "n" là khác không. Thì nhất thiết p × k = 1; do đó, p = 1 và k = 1. Sử dụng lại thuộc tính thay thế, khi thay thế k = 1 trong đẳng thức m = k × n (hoặc tương đương, p = 1 trong n = p × m) cuối cùng cũng thu được m = n, đó là điều muốn chứng minh.

Quyền sở hữu quyền lực trong một sự bình đẳng

Như trước đây người ta đã thấy rằng nếu một hoạt động được thực hiện dưới dạng tổng, nhân, trừ hoặc chia theo cả hai phương trình của một đẳng thức, thì nó được bảo toàn, giống như các hoạt động khác không làm thay đổi một đẳng thức có thể được áp dụng.

Điều quan trọng là luôn luôn thực hiện nó trên cả hai mặt của đẳng thức và đảm bảo trước rằng hoạt động có thể được thực hiện. Đó là trường hợp trao quyền; nghĩa là, nếu cả hai mặt của một phương trình được nâng lên cùng một lũy thừa, nó vẫn có một đẳng thức.

Ví dụ: 3 = 3, sau đó 32 = 32 (9 = 9). Nói chung, đã cho một số nguyên "n", nếu x = y, thì xn = yn.

Tài sản của gốc trong một đẳng thức

Đây là một trường hợp đặc biệt của điện thế và được áp dụng khi công suất là số hữu tỷ không nguyên, chẳng hạn như, đại diện cho căn bậc hai. Thuộc tính này nói rằng nếu cùng một gốc được áp dụng trên cả hai mặt của một đẳng thức (miễn là có thể làm như vậy), thì đẳng thức được giữ nguyên.

Không giống như trường hợp trước, ở đây bạn phải cẩn thận với tính chẵn lẻ của gốc được áp dụng, vì người ta biết rằng cặp gốc của một số âm không được xác định rõ.

Trong trường hợp triệt để là chẵn, không có vấn đề. Ví dụ: nếu x3 = -8, mặc dù đó là một đẳng thức, chẳng hạn, bạn không thể áp dụng một căn bậc hai ở cả hai bên. Tuy nhiên, nếu bạn có thể áp dụng một khối bậc ba (thậm chí còn thuận tiện hơn nếu bạn muốn biết rõ giá trị của x), thu được x = -2 đó.