Có những loại tích phân nào?

Các loại tích phân mà chúng ta tìm thấy trong phép tính là: Tích phân không xác định và tích phân xác định. Mặc dù tích phân xác định có nhiều ứng dụng hơn tích phân không xác định, nhưng trước tiên cần phải học cách giải các tích phân không xác định.

Một trong những ứng dụng hấp dẫn nhất của tích phân xác định là tính toán khối lượng của một vật rắn của cuộc cách mạng.

Cả hai loại tích phân đều có cùng tính chất của tuyến tính và các kỹ thuật tích hợp không phụ thuộc vào loại tích phân.

Nhưng mặc dù rất giống nhau, có một sự khác biệt chính; trong loại tích phân đầu tiên, kết quả là một hàm (không cụ thể) trong khi ở loại thứ hai, kết quả là một số.

Hai loại tích phân cơ bản

Thế giới tích phân rất rộng nhưng trong phạm vi này, chúng ta có thể phân biệt hai loại tích phân cơ bản, có khả năng ứng dụng rất lớn trong cuộc sống hàng ngày.

1- Tích phân không xác định

Nếu F '(x) = f (x) cho tất cả x trong miền của f, chúng tôi nói rằng F (x) là một phản vật chất, nguyên thủy hoặc tích phân của f (x).

Mặt khác, quan sát rằng (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), ngụ ý rằng tích phân của hàm không phải là duy nhất, vì đưa ra các giá trị khác nhau cho hằng số C, chúng ta sẽ thu được khác nhau phản gián.

Vì lý do này, F (x) + C được gọi là Tích phân không xác định của f (x) và C được gọi là hằng tích phân và chúng tôi viết nó theo cách sau

Như chúng ta có thể thấy, tích phân không xác định của hàm f (x) là một họ các hàm.

Ví dụ: nếu bạn muốn tính tích phân không xác định của hàm f (x) = 3x², trước tiên bạn phải tìm một phản đối của f (x).

Thật dễ dàng để nhận thấy rằng F (x) = x³ là một phản vật chất, vì F '(x) = 3x². Do đó, có thể kết luận rằng

∫f (x) dx = 3x²dx = x³ + C.

2- Tích phân xác định

Đặt y = f (x) là một hàm thực tế, liên tục trong một khoảng thời gian đóng [a, b] và đặt F (x) là một phản đối của f (x). Nó được gọi là tích phân xác định của f (x) giữa các giới hạn a và b và số F (b) -F (a) và được ký hiệu như sau

Công thức hiển thị ở trên được biết đến nhiều hơn là "Định lý cơ bản của tính toán." Ở đây "a" được gọi là giới hạn dưới và "b" được gọi là giới hạn trên. Như bạn có thể thấy, tích phân xác định của hàm là một số.

Trong trường hợp này, nếu tích phân xác định của f (x) = 3x² được tính trong khoảng [0, 3], sẽ thu được một số.

Để xác định số này, chúng tôi chọn F (x) = x³ là đối kháng của f (x) = 3x². Sau đó, chúng tôi tính F (3) -F (0) cho chúng tôi kết quả 27-0 = 27. Tóm lại, tích phân xác định của f (x) trong khoảng [0, 3] là 27.

Có thể nhấn mạnh rằng nếu G (x) = x³ + 3 được chọn, thì G (x) là một phản đối của f (x) khác với F (x), nhưng điều này không ảnh hưởng đến kết quả vì G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Vì lý do này, trong các tích phân đã xác định, hằng số tích hợp không xuất hiện.

Một trong những ứng dụng hữu ích nhất mà loại tích phân này có là cho phép tính diện tích (thể tích) của hình phẳng (của vật rắn cách mạng), thiết lập các chức năng phù hợp và giới hạn tích hợp (và trục xoay).

Trong các tích phân đã xác định, chúng ta có thể tìm thấy các phần mở rộng khác nhau như tích phân dòng, tích phân bề mặt, tích phân không chính xác, nhiều tích phân, trong số các phần tử khác, tất cả đều có ứng dụng rất hữu ích trong khoa học và kỹ thuật.